Sabtu, 12 September 2009

mat 2b

NGATINI, S.Pd





MATEMATIKA
2B

UNTUK SMP KELAS VIII
SEMESTER KEDUA
PRAKATA
DAFTAR ISI


BAB 1 LINGKARAN ......................................................................................... 1
A. Lingkaran dan Bagian-Bagiannya......................................................... 1
1. Pengertian Lingkaran..................................................................... 1
2. Bagian-Bagian Lingkaran .............................................................. 1
B. Keliling dan Luas Lingkaran ................................................................ 3
1. Menemukan Pendekatan Nilai p Phi ............................................. 3
2. Menghitung Keliling Lingkaran ...................................................... 4
3. Menghitung Luas Lingkaran .......................................................... 5
4. Menghitung Perubahan Luas Dan Keliling Lingkaran ...................... 7
C. Hubungan antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring ............ 8
1. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring ................. 8
2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
Hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring .................... 10
D. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran ............................................ 11
1. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling ...................................... 11
2. Besar sudut keliling yang menghadap diameter ............................. 12
3. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama ................ 13
E. Segi Empat Tali Busur (Pengataan)...................................................... 14
1. Pengertian Segi Empat Tali Busur.................................................. 14
2. Sifat-sifat Segi Empat Tali Busur................................................... 15
F. Sudut Antara Dua Tali Busur (Pengataan)............................................. 17
1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jiak Berpotongan
Didalam Lingkaran ........................................................................ 17
2. Sudut Antara Dua Tali Busur Jiak Berpotongan
Diluar Lingkaran ........................................................................... 18
BAB 2 GARIS SINGGUNG LINGKARAN ....................................................... 20
A. Mengenal Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran ..................................... 20
B. Melukis dan Menentukan panjang Garis Singgung Lingkaran ................ 21
C. Kedudukan Dua Lingkaran ................................................................. 22
D. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran ......................................... 23
E. Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang
Menghubungkan Dua Lingkaran .......................................................... 25
F. Melukis Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga ........................ 26

BAB 3 KUBUS DAN BALOK ......................................................................... 32
A. Mengenal Bangun Ruang ................................................................... 32
1. Mengenal Berbagai Macam Bangun Ruang .................................. 32
2. Mengenal Sisi, Rusuk, dan Titik Sudut Kubus
Maupun Balok ............................................................................ 32
3. Bangun dari Sisi Kubus dan Balok .............................................. 33
4. Rusuk-Rusuk yang Sejajar pada Bangun Ruang ........................... 33
5. Mengenal Diagonal Bidang, Diagonal Ruang dan
Bidang Diagonal ......................................................................... 34
6. Melukis Kubus dan Balok ........................................................... 34
B. Model Kerangka Serta Jaring-Jaring Kubus dan Balok ...................... 35
1. Model Kerangka Kubus dan Balok ............................................. 35
2. Jaring-jaring Kubus dan Balok .................................................... 36
C. Luas permukaan Serta Volume Kubus dan Balok .............................. 38
1. Luas Permukaan Kubus dan Balok ............................................. 38
2. Volume Kubus dan Balok ........................................................... 39
BAB 4 BANGUN RUANG SISI DATAR LIMAS DAN PRISMA TEGAK...... 42
A. Bangun Ruang Prisma dan Limas ....................................................... 42
B. Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, Serta Bidang Diagonal
Prisma dan Limas ............................................................................. 43
C. Jaring-jaring Prisma dan Limas .......................................................... 44
D. Luas Permukaan Prisma dan Limas ................................................... 46
E. Volume Prisma dan Limas ................................................................. 49
DAFTAR PUSTAKA

BAB 1
LINGKARAN


Tujuan Pembelajaran pada bab ini adalah
- Dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran
- Dapat menemukan nilai phi
- Dapat menentukan rumus serta menghitung keliling dan luas lingkaran
- Dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama
- Dapat menentukan besar sudut keliling jika menghadap busur yang sama
- Dapat nenentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng
- Dapat menggunakan hubungan sudut pusat, busur, dan luas juring dalam pemecahan masalah.

A. LINGKARAN DAN BAGIAN-BAGIANNYA
1. Pengertian Lingkaran
B
C
O
D
APerhatikan gambar 1.1
Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disbeut pusat lingkaran.

Gambar 1.1

Gambar 1.1 menunjukkan titik A, B, C dan D yang terletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehingga = jari-jari lingkaran ( r ) titik O disebut pusat lingkaran.


OPerhatikan gambar 1.2
Panjang garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuk lingkaran disbeut keliling lingkaan sedangkan daerah arsiran disebut bidang lingkaran alas luas lingkaran.


2.
C
O
D
A
F
B
E
busur
tali busur
tembereng
juring
ApotemaBagian-bagian Lingkaran








Gambar 1.3

Perhatiakn gambar 1.3
- Titik O disebut titik pusat lingkaran
- disebut jari-jari lingkaran yaitu garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik pada keliling lingkaran.
- disebut garis tengah atau diameter yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui pusat lingkaran. Karena diameter , dimana = jari-jari ( r ) lingkaran, sehingga diameter ( d ) = 2 x jari-jari ( r ) atau d = 2r.
- disebut tali busur yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran.
- tali busur dan tali busur disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
-
busur besar
B
busur kecil Garis lengkung disebut busur lingkaran, yaitu bagian dari keliling lingkaran. Busur terbagi menjadi dua yaitu busur besar ada busur kecil ( gambar 1.4 )
1. Busur kecil / pendek adalah busur AB yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.



Gambar 1.4
2. Busur besar / panjang adalah busur AB yang lebih dari setengah keliling lingkaran
juring besar
C
B
juring kecil
O







Gambar 1.5
- Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari, dan serta busur BC disebut juring atau sektor juring terbagi menjadi dua, yaitu juring besar dan juring kecil ( gambar 1.5 )
tembereng besar
tembereng kecil




Gambar 1.6
- Daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya disbeut tembereng gambar 1.6 menunjukkan bahwa terdapat tembereng kecil dan tembereng besar.

Uji Kompetensi 1
1. Pada gambar dibawah ini sebutkan garis yang merupakan
a.
A
B
C
E
D
O
F Jari-jari
b. Garis tengah
c. Tali busur
d. Apotema








2. Disebut apakah daerah arsiran yang ditunjukkan pada gambar berikut ?




(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

3. Sebutkan nama unsur-unsur lingkaran yang ditunjukkan oleh nomor 1, 2, 3, 4 dan 5 pada gambar dibawah ini.
5
4
2
1
3
O





4. Benar atau salahkah pernyataan-pernyataan berikut ?
a. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu.
b. Jari-jari lingkaran saling berpotongan di satu titik
c. Garis tengah merupakan tali busur yang terpanjang
d. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh jari-jari dan tali busur.

B. KELILING DAN LUAS LINGKARAN
1. Menemukan Pendekatan Nilai π (phi)
Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatan π (phi)
Kegiatan
a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm dan 3cm
b. Ukurlah diamter masing-masing lingkaran dengan menggunakan penggaris
c. Ukurlah keliling masing-masing lingkaran menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang di ukur dengan menggunakan penggaris.
d. Buatlah tabel seperti dibawah ini dan hasil pengukuran yang telah kamu peroleh isikan pada tabel tersebut.
Lingkaran
Diameter
Keliling
Keliling
Diameter
Berjari-jari 1 cm
Berjari-jari 1,5 cm
Berjari-jari 2 cm
Berjari-jari 2,5 cm
Berjari-jari 3 cm
................
................
................
................
................

................
................
................
................
................

................
................
................
................
................


Coba bandingkan hasil yang kalian peroleh dengan hasil yang diperoleh teman-temanmu. Apa yang dapat kalian simpulkan ?
Apakah kalian mendapatkan nilai perbandingan antara keliling dan diameter untuk setiap lingkaran adalah sama ( tetap ) ?
= πJika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti maka nilai disebut sebagai nilai konstanta π ( π dibaca phi )



Coba tekan tombol π pada kalkulator. Apakah kalian mendapatkan bilangan desimal tak berhingga dan berulang ?
Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilangan pecahan. Oleh karena itu, π bukan bilangan pecahan, tetapi bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa . Bilangan irasional berupa desimal tak berulang dan tak berhingga.
Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai π = 3,14 159265358979324836 .....
Jadi, nilai π hanyalah suatu pendekatan.
Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal, pendekatan π adalah 3,14.
Coba bandingkan nilai π dengan pecahan . Bilangan pecahan jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 3,142857143. Jadi bilangan dapat dipakai sebagai pendekatan untuk nilai π.
π = 3,14 atau



2. Menghitung Keliling Lingkaran
= = π
Karena = π maka k = πd
Karena panjang diameter 2 x jari-jari atau d = 2r, maka k = 2 π r.
K = π d atau K = 2 π r

Contoh.
Hitunglah keliling kl jika diketahui
a. diameter 7 cm
b. jari-jari 14 cm
Penyelesaian
a. d = 7 cm
K = π d
= x 7
= 22
Jadi keliling lingkaran adalah 22 cm
b. r = 14 cm
K = 2 π r
= 2 x x 4
= 88
Jadi, keliling lingkaran adalah 88 cm

Uji Kompetensi 2
1. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui
a. Jari-jari 21 m
b. Jari-jari 10 m
c. Jari-jari 15 m
d. Diameter 2,8 cm
e. Diameter 2,4 cm
2. Hitunglah panjang tali yang diperlukan untuk melilitkan sebuah drum berjari-jari 5 cm sebanyak lima putaran.
3.
10 cm
14cm
14cm
14 cm
7 cm
5cmHitunglah keliling daerah yang diarsir pada gambar berikut.





(i)
(ii)
(iii)
(iv)
4. Intan ke sekolah naik sepeda menempuh jarak 706,5 m ternyata sebuah roda sepedanya berputar 600 kali untuk sampai ke sekolah
a. Hitunglah panjang jari-jari roda
b. Tentukan keliling roda itu

3.
10
9
8
7
11
12
1a
1b
6
5
4
3
2
12
11
10
9
8
7
1a 2 3 4 5 6 1b
π r
(i)
p r
(ii)
Gambar 1.7
rMenghitung Luas Lingkaran
a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10cm
b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar dan arsir satu bagian
c. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 juring sama besar dengan sudut pusat 30o gambar 1.7 (i)
d. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua sama besar
e. Gunting lingkaran besarta 12 juring tersebut
f. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang gambar 1.7 (ii)

Berdasarkan gambar 1.7 (ii), diskusikan dengan teman sebangkumu untuk menemukan luas lingkaran. Hasilnya bandingkan dengan uraian berikut.
Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti gambar 1.7 (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang.
Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran (3,14x10 cm = 3,1 4cm) dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10 cm). Jadi luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan
P = 31,4 cm dan l = 10 cm
= p x l
= 31,4 cm x 10 cm
= 314 cm2
Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang π r dan lebar r, sehingga diperoleh
L = π r x r
L = π r2
Karena r = d, maka L = p
= p
L = pd2
L = pr 2 atau L = pd2Jadi dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dan jari-jari r atau diamter d adalah




Contoh.
Hitunglah luas lingkaran jika
a. Jari-jari 7 cm
b. Diamternya 10 cm
Penyelesaian
a. Jari-jari : 7 cm, maka r = 7
L = p r2
= x 7 x 7
= 15 cm
Jadi luas lingkaran = 154 cm2
b. Diamternya 10 cm maka d = 10 cm
L = pd2
= x 3,14 x 10 x 10
= x 3,14 x 100
= 78,5
Jadi, luas lingkaran -= 78,5 cm2

Uji Kompetensi 3
1. Hitunglah luas daerah lingkaran dengan panjang jari-jari sebagai berikut.
a. 14 cm c. 3,5 m
b. 21 cm d. 70 m
2. Hitunglah luas daerah lingkaran dengan diameter berikut ini.
a. 100 m c. 3,5 cm
b. 14 m d. 18 cm
3. Tentukan luas daerah arsiran pada bangun berikut
7 cm
(a)

10 cm
(b)
10 cm





4. Dua buah lingkaran berjari-jari 5 cm dan 15 cm. Hitunglah perbandingan
a. Kedua kelilingnya
b. Selisih kelilingnya
c. Kedua luasnya
d. Selisih luasnya
5. Di pusat sebuah kota rencananya akan dibuat sebuah taman berbentuk lingkaran dengan jari-jari 56 m. Di dalam taman itu akan dibuat kolam berbentuk lingkaran dengan jari-jari 28 m. Jika di luar kolam akan ditanami rumput dengan biaya Rp. 8.000/m2. hitunglah seluruh biaya yang harus di keluarkan untuk menanam rumput tersebut.



4. Menghitung perubahan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah
Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari mengenai luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) = p r2 = pd2 dan keliling (K) = 2 p r = p d. Apabila nilai r atau d kita ubah, maka bersanya luas maupun keliling juga mengalami perubahan.
Misalkan lingkaran berjari-jari r1 diperbesar sehingga jari-jarinya menjadi r2 dengan r2 > r1 jika luas lingkaran semula adalah L1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah :
L1 – L2 = p r - p r
= p
= p (r2 – r1) (r2 + r1)

Jika keliling lingkaran semula adalah K1 dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah
K2 - K1 = 2 p r2 - 2 p r1
= 2 p (r2 - r1)
Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut :

L2 : L1 = p r : p r
= r - r
K1 : K2 = 2 p r2 : p r1
= r2 - r1

Contoh.
Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang jari-jari 2 cm dan 4 cm.
Penyelesaian
Lingkaran berjari-jari 2 cm maka r1 = 2
Lingkaran berjari-jari 4 cm maka r2 = 4
Selisih luas = L2 – L1
= p (r2 – r1) (r2 + r1)
= p (4 – 2) (4 + 2)
= p x 2 x 6
= 12 p cm2
Selisih keliling = K2 – K1
= 2p (r2 – r1)
= 2p (4 – 2)
= 4p cm2
Perbandingan luas = L2 : L1
= r - p r
= 16 : 4
= 4 : 1
Perbandingan keliling = K2 : K1
= r2 - p r1
= 4 : 2
= 2 : 1


Uji Kompetensi 4
1. Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi.
a. Tiga kalinya
b. (r + 3) cm
2. Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luasnya setelah jari-jarinya.
a. Diperbesar empat kalinya
b. Diperkecil kalinya
3. Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 25 : 64. Hitunglah
a. Perbandingan keliling kedua lingkaran
b. Selisih keliling kedua lingkaran
c. Perbandingan jari-jari kedua lingkaran
d. Selisih jari-jari kedua lingkaran
4. Jari-jari dua buah lingkaran masing-masing adalah x cm dan 3x cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 28 cm, tentukan.
a. Nilai x
b. Perbandingan luas dan kelilingnya
c. Selisih luas dan kelilingnya

C. HUBUNGAN ANTARA SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING
1. Hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring
A
B
O Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran.
Pada gambar 1.8 disamping ÐAOB = a adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran AOB disebut juring AOB.

Gambar 1.8
D
C
B
A
O
a =
=



CôD
B
A
O
a
r
Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya



Gambar 1.9
Perhatikan gambar 1.9 (i)
= =
misalkan ÐCOD = Satu putaran penuh = 360o keliling lingkaran 2 p r, dan luas lingkaran = p r2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti gambar 1.9 (ii) sehingga diperoleh = =
Dengan demikian diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB dan luar tembereng AB pada gambar 1.9 adalah.
Panjang busur AB = x 2 p r
Luas juring OAB = x p r2
Luas tembereng AB = luas juring OAB – luas ∆ AOB
Contoh
Perhatikan gambar 1.10. Diketahui panjang jari-jari OA = 10 cm. Jika besar Ð AOB = 60o. Hitunglah.
a. Panjang
b. Luas juring OAB
c.
A
B
O Luas tembereng AB





Penyelesaian
a. Panjang = x 2 p r
= x 2 x 3,14 x 10
= x 62,8
= 10,47 cm
b. Luas juring OAB = x p r2
= x 3,14 x 102
= x 3,14
= 52,33 cm2
c. Karena besar ÐAOB = 60o, maka ∆AOB sama sisi dengan panjang sisi 10cm, sehingga
S = x keliling segitiga
= ( a + b + c )
= ( 10 + 10 + 10 )
= x 30 = 15
Luas ∆ AOB =
=
=
=
Luas tembereng AB = luas juring OAB – luas ∆ AOB
= (52,33 – 43,30) cm2
= 9,03 cm2

2. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring.
Q
P
O
45o
R Contoh.





Gambar 1.11
Pada gambar diatas diketahui panjang busur PQ = 16,5 cm, panjang busur QR = 22 cm dan ÐPOQ = 45o
a. Hitunglah besar ÐQOR
b. Hitunglah panjang jari-jari OP
c. Tentukan luas juring OPQ dan OQR
Penyelesaian
a. =
=
Û =
Û =
Û x =
Jadi, besar ÐQOR = 60o
b. Panjang = x 2 p r
22 = x 2 x x r
22 = x 2 x x r
r = = 21
Jadi, panjang jari-jari OP = 21 cm

c. Luas juring OPQ = x p r2
= x x 21 x 21
= 173,25 cm2
Luas juring OQR = x p r2
= x x 21 x 21
= 231 cm2



Uji Kompetensi 5
1.
A
B
O
72o
60o
P
Q Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B,C, dan D pada keliling lingkaran sehingga ÐAOB = 35o dan ÐCOD = 140o jika panjang = 14 cm. Hitunglah panjang
2. Pada gambar disamping, luas juring OAB = 50 cm2. Hitunglah
a. Luas juring POQ
b. Jari-jari lingkaran
c. Luas lingkaran

3. Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 28 cm. Hitunglah
a. Panjang busur dihadapan sudut 30o
b.
P
Q
O Luas juring diharapan sudut 45o
4. Pada gambar disamping diketahui panjang OP = 28 cm dan = 17,6 cm. Hitunglah luas juring POQ


Q
P
O
72o
20cm
5. Pada gambar disamping besar ÐOPQ = 72o dan panjang jari-jari OP = 20 cm. Hitunglah
a. Panjang busur besar PQ
b. Luas juring besar POQ

D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN
1. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling
A
C
B
Gambar 1.12
OPada gambar 1.12 disamping OA dan OB berpotongan di O membentuk sudut pusat, yaitu ÐAOB. adapun tali busur AC dan CB berpotongan dititik C membentuk sudut keliling ÐACB




Sudut pusat ÐAOB dan sudut keliling ÐACB menghadap busur yang sama, yaitu .
b
a
O
r
A
C
B
D
Gambar 1.13Perhatikan gambar 1.13
lingkaran disamping berpusat dititik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. misalkan ÐAOC = a dan ÐCOB = b, maka ÐAOB = a + b. Perhatikan ∆ BOD,
ÐBOD pelurus ÐBOC, sehingga
ÐBOD = 180o - b
∆BOD segitiga sama kaki,
karena OB = OD = r, sehingga
ÐODB = ÐOBD =
karena ÐBOD = 180o - b maka
ÐODB = ÐOBD =
Perhatikan ∆OAD
ÐAOD pelurus ÐAOC, sehingga ÐAOD = 180o - a.
∆ AOD adalah segitiga sama kaki karena OA = OD = r sehingga
ÐODA = ÐOAD =
=
=
Besar ÐADB = ÐODA + ÐODB
= +
= ( a + b )
= x ÐAOB atau
Besar ÐAOB = 2 x besar ÐADB
Karena ÐAOB adalah sudut pusat dan ÐADB adalah sudut keliling, dimana keduanya menghadap , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling.




A
C
B
OContoh.






Gambar 1.14
Pada lingkaran diatas, jika ÐACO = 15o dan ÐBCO = 12o. Hitung besar ÐAOB.
Penyelesaian
ÐACB merupakan sudut keliling dan ÐAOB merupakan sudut pusat sehingga diperoleh sudut keliling ACB = ÐACO + ÐBCO
= 15o + 12o
= 27 o
sudut pusat AOB = 2 x sudut keliling ACB
= 2 x 27o
= 54 o

2.
A
C
B
O
DBesar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran
Perhatikan gambar 1.15 sudut pusat AOB menghadap busur AB. Bahwa sudut keliling ABC dan sudut keliling ADB menghadap busur AB, sehingga diperoleh.
ÐAOB = 2 x ÐACB
180o = 2 x ÐACB
Gambar 1.15
ÐACB = = 90o




atau
ÐAOB = 2 x ÐADB
180o = 2 x ÐADB
ÐADB = = 90o
Dari gambar 1.15 tampak bahwa ÐAOB adalah sudut lurus, sehingga besar ÐAOB = 180o.
Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90o (suatu siku-iku)



Contoh.
C
A
B
O
65oDiketahui ÐABC = 65o dengan AB diameter lingkaran. Hitunglah besar ÐCAB






Gambar 1.16
Penyelesaian
Ruas garis AB adalah diameter lingkaran.
Karena ÐACB adalah sudut keliling yang menghadap diameter AB maka ÐACB = 90o.
Perhatikan ∆ BCO adalah segitiga sama kaki karena OB = OC = r, sehingga ÐBCO = ÐCBO = 65o
ÐACO = ÐACB - ÐBCO
= 90o - 65o
= 25o
Karena ∆ AOC sama kaki (OA = OC = r) maka ÐACO = ÐACO = 25o

3. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama
A
C
D
E
B
a
OPerhatikan gambar 1.17
Pada gambar tersebut Ð AOB adalah sudut pusat yang menghadap = a, sedangkan ÐACB, ÐADB, dan ÐAEB adalah sudut keliling yang menghadap
ÐACB = x ÐAOB = a
ÐADB = x ÐAOB = a
ÐAEB = x ÐAOB = a
Jadi besar ÐACB = ÐADB = ÐAEB
Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar atau x sudut pusatnya








O
B
A
D
C
E
60o
50oPerhatikan gambar 1.18.
Diketahui ÐBAC = 50o dan ÐCED = 60o. Hitunglah besar ÐBDC, ÐACD dan ÐABD.

Penyelesaian
Gambar 1.18Dari gambar 1.18 tampak bahwa ÐBAC dan ÐBDC sudut keliling menghadap busur yang sama yaitu sehingga besar ÐBDE = ÐBAC = 50o.
Perhatikan ∆CED
ÐACD = 180o – (ÐCED + ÐCDE)
= 180o – (ÐCED + ÐCDB)
= 180o – (60o + 50o)
= 70o
ÐACD dan ÐABD adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu , sehingga besar ÐABD = ÐACD = 70o.

Uji Kompetensi 6
1.
C
A
B
O
D Pada gambar disamping diketahui besar ÐACD = 20o. Hitunglah besar
a. ÐBOC
b. ÐAOC
c. ÐBOD
C
A
B
O
D
2. Diketahui besar ÐBCA = 25o dan ÐCBO = 15o. Hitunglah besar.
a. ÐAOB c. ÐABC
b. ÐOAB d. ÐBAC

­
3.
P
R
Q


O
x
2x Pada gambar disamping PR adalah diameter lingkaran. Hitunglah.
a. Nilai x
b. Besar ÐPRQ



E. SEGI EMPAT TALI BUSUR ( PENGATAAN)
1. Pengertian Segi Empat Tali Busur
D Perhatikan gambar 1.19
Gambar 1.19
C
O
B
A Pada gambar tersebut titik O adalah titik pusat lingkaran dari titik A, B, C dan D terletak pada keliling lingkaran tersebut. Ruas garis AB, BC, CD dan AD adalah tali-tali busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut membentuk segi empat ABCD, dan selanjutnya disebut segi empat tali busur.

Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran






2. Sifat-Sifat Segi Empat Tali Busur
B
A
D
O
C
Gambar 1.20Perhatikan gambar 1.20
Pada gambar tersebut tampak bahwa sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur ABCD adalah ÐABC dengan ÐADC dan ÐBAD dengan ÐBCD.
Perhatikan sudut keliling
ÐABC dan ÐADC
ÐABC = x (ÐAOD + ÐDOC)
ÐADC = x (ÐAOB + ÐBOC)
Dengan demikian diperoleh
ÐABC + ÐADC = x (ÐAOD + ÐDOC) + x (ÐAOB + ÐBOC)
= x (ÐAOD + ÐDOC + ÐAOB + ÐBOC)
= x 360
= 180o
Sekarang, perhatikan sudut keliling ÐBAD dan ÐBCD.
ÐBAD = x (ÐBOC + ÐCOD)
ÐBAD = x (ÐBOA + ÐAOD)
Dengan demikian, diperoleh
ÐBAD + ÐBCD = x (ÐBOC + ÐCOD) + x (ÐBOC + ÐAOD)
= x (ÐBOC + ÐCOD + ÐBOA + ÐAOD)
= x 360o
= 180o
Jadi ÐABC + ÐADC = 180o dan ÐBAD + ÐBCD = 180o
Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180o


Gambar 1.21
Q
P
S
O
P Perhatikan gambar 1.21
Pada gambar disamping adalah diameter lingkaran sekaligus diagonal segi empat PQRS. Karena ÐQPS dan ÐQRS adalah sudut keliling, maka besar ÐQPS = ÐQRS = 90o. Segi empat PQRS selanjutnya disebut segi empat tali busur siku-siku.



Perhatikan gambar 1.22.
K
N
M
O
L
Gambar 1.22Pada gambar tersebut dan adalah diameter lingkaran, ÐKLM dan ÐKNM adalah sudut keliling yang menghadap diameter , sedangkan ÐLKM dan ÐLMN adalah sudut keliling yang menghadap diameter . Dengan demikian ÐKLM = ÐKNM = ÐLKM = ÐLMN = 90o. Karena keempat sudutnya siku-siku, akibatnya // . // , = dan = dengan dan adalah diagonal-diagonal segiempat KLMN. Dengan kata lain, segi empat KLMN adalah suatu persegi panjang.
Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang.
A
B
C
O
D
Gambar 1.23



Perhatikan gambar 1.23
dan adalah diameter lingkaran dengan ^ Karena ÐDAB adalah sudut-sudut keliling yang menghadap diameter besar ÐABC = ÐBCD = ÐCDA = ÐDAB = 90o.


Jika ∆ BOC kita putar sejauh 90o berlawanan arah putaran jarum jam dengan titik O sebagai titik putar maka diperoleh ® atau = , dan ÐBOC ® ÐCOD.
Dengan demikian ® atau = . = = , sehingga = = = segiempat ABCD adalah bangun persegi.
Segiempat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akan membentuk bangun persegi.





Uji Kompetensi 7
1.
A
B
C
D
OPerhatikan gambar dibawah
ABCD adalah segiempat tali busur dengan ÐABC = 80o. Dan ÐADC = 100o. Tentukan
a. Busur ÐBCD
b. Busur ÐBAD




2.
O
75o
G
H
E
F Perhatikan gambar disamping
a. Jika ÐEOF = 75o. Tentukan besar sudut yang lain
b. Apakah jenis ∆ FOG ?
c. Bangun apakah EFGH ?


3.
Q
R Perhatikan gambar disamping. Diketahui dan adalah diameter lingkaran.
a.
O Jika ÐOPS = 35o. Tentukan besar sudut yang lain
b.
35o
S
P Bangun apakah PQRS ?
c. Sebutkan dua pasang segitiga pada segi empat PQRS yang sama dan sebangun.



F.
G
D
E
F
O
H
D
A
B
C
O SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR ( PENGAYAAN )






(a) (b)
Gambar 1.24
Pada gambar 1.24 (a), tali busur dan berpotongan didalam lingkaran, sedangkan gambar 1.24 (b) menunjukkan tali busur dan berpotongan pada perpanjangan kedua tali busur itu di luar lingkaran.
1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Didalam Lingkaran
D
A
B
C
O Perhatikan gambar 1.25
Lingkaran dengan pusat di titik O dengan pusat di titik E adalah titik potong antara tali busur dan .


Gambar 1.25
Dari gambar tersebut tampak bahwa ÐAEB, ÐBEC, ÐCED, dan ÐAED adalah sudut didalam lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan antara tali busur dan .
Dari gambar tersebut diperoleh.
a. ÐBDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC sehingga ÐBDC = x ÐAOD
b. ÐACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD, sehingga ÐACD = x ÐAOD
Perhatikan bahwa ÐBEC adalah sudut luar ∆ CDE, sehingga
ÐBEC = 180o - ÐCED
= 180o - (180o - ÐCDE - ÐECD)
= ÐCDE + ÐECD
=
= x (ÐBOC + ÐAOD)
Dengan cara diatas diperoleh
ÐAEB = x (ÐAOB + ÐCOD)
ÐCED = x (ÐCOD + ÐAOB)
ÐAED = x (ÐAOD + ÐBOC)
Dari uraian diatas dapat disimpulkan sebagai berikut :
Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan didalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.






P
Q
R
S
O Contoh.
Pada gambar disamping, diketahui busur ÐPOQ = 60o dan busur ÐROS = 130o. Tentukan besar ÐPTQ
Penyelesaian.


Gambar 1.26
ÐPTQ = x (ÐPOQ + ÐROS)
= x (60o + 130o)
= 95o

2. Sudut Antar Dua Tali Busur Yang Berpotongan Di Luar Lingkaran
Perhatikan gambar. 1.27
K
L
M
N
O
O Titik O adalah titik pusat lingkaran, sedangkan dan adalah dua tali busur yang jika diperpanjang akan berpotongan di titik P, dimana titik P diluar lingkaran, sehingga terbentuk ÐKPN. ÐKMN adalah sudut keliling yang menghadap busur KN, sehingga ÐKMN = x ÐKON.
Sudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM sehingga ÐMKL = x ÐMOL.
Sudut MKL adalah sudut luar ∆ KPM, sehingga ÐMKL = ÐKMN + ÐKPN
atau ÐKPN = ÐMKL - ÐKMN
=
= x (ÐMOL - ÐKON)
Dari uraian diatas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luas lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu




B
A
D
C
O
E Contoh.
Perhatikan gambar 1.28 disamping. Diketahui besar ÐAED = 25o dan besar ÐBOC = 35o. Tentukan besar ÐAOD.


Gambar 1.28 Penyelesaian
ÐAED = x (ÐAOD - ÐBOC)
25o = x (ÐAOD – 35o)
50o = ÐAOD – 35o
ÐAOD = 85o


A
B
D
O
C Uji Kompetensi 8
1. Perhatikan gambar disamping jika besar ÐAOC = 65o dan ÐBOD = 140o. Tentukan
a. Besar ÐAEC
b. Besar ÐBEC

E
O
D
H
F
G
2. Pada gambar disamping tali busur DE dan GF berpotongan dititik H di luar lingkaran. Diketahui besar ÐDOG = 150o dan ÐEOF = 40o. Tentukan besar ÐDMG.


Rangkuman
1.
A
O
E
F
C
G
B
D Perhatikan gambar disamping.
a. Titik O disebut pusat lingkaran
b. , , dan disebut jari-jari lingkaran.
c. disebut garis tengah atau diameter, yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusat lingkaran.
d. AE disebut tali busur, yaitu garis yang menghubugkan dua titik pada keliling lingkaran
e. Garis lengkung AFE disebut busur kecil (pendek), yaitu busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.
f. Garis lengkung ACE disebut busur besar (panjang), yaitu busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran.
g. Daerah yang dibatasi oleh jari-jari dan serta busur BC disebut sektor atau juring lingkaran.
h. Daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur AFE disebut tembereng.
i. ^ tali busur disebut Apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
2. Nilai p merupakan suatu pendekatan. Besar nilai p adalah 3,14 atau
3. Rumus keliling lingkaran ( k ) dengan diamter ( d ) dan jari-jari ( r ) sebagai berikut. K = p d atau K = 2 p r
4. Rumus luas lingkaran ( L ) dengan diameter ( d )

BAB 2
GARIS SINGGUNG LINGKARAN


Tujuan Pembelajaran
- Dapat menemukan sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis yang melalui titik pusat.
- Dapat mengenali garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran.
- Dapat menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran.
- Dapat melukis lingkaran dalam dan luar segitiga.

A. MENGENAL SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1.
A
g
L
BPengertian garis singgung lingkaran
Garis singgung lingkaran adalah garis yang apabila diperpanjang akan memotong lingkaran hanya pada satu titik. Titik potong garis singgung lingkaran dengan lingkaran disebut titik singgung.


Gambar 2.1
Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari atau diameter yang melalui titik singgung. Perhatikan gambar 2.1 garis g adalah garis singgung lingkaran L dengan titik singgung A garis g tegak harus dengan AL (jari-jari lingkaran) garis g juga tegak lurus dengan AB (diameter lingkaran).

2. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut.
B
g
D
A2
E
O
A1
A
C
ℓ2
ℓ1
k2
k1 Perhatikan gambar 2.2









Gambar 2.2
Pada gambar 2.2 diatas garis k1 dan k2 adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran dan menyinggung lingkaran dititik B dan C.
Apabila titik A digeser ke A1 maka garis k1 dan k2 akan bergeser sehingga menjadi garis ℓ1 dan ℓ2 dan yang menyinggung lingkaran dititik D dan E.
Apabila titik A1 digeser ke A2 tepat pada keliling lingkaran maka garis ℓ1 dan ℓ2 bergesar dan saling berimpit menjadi garis g.
Jadi, hanya terdapat satu garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran. Apakah garis g ^ OA2 ?




B. MELUKIS DAN MENENTUKAN PANJANG GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1. Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran.
Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung lingkaran.
2. Garis singgung melalui suatu titik diluar lingkaran.
Melalui sebuah titik diluar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran.
3.
B
O
AMenentukan panjang garis singgung lingkaran dari satu titik di luar lingkaran.
Pada gambar 2.3 disamping lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB ^ garis AB garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.

Gambar 2.3

Perhatikan segitiga siku-siku ABO.
Dengan teorema pythagoras berlaku.
OB2 + AB2 = OA2
AB2 = OA2 - OB2
AB =
Panjang garis singgung lingkaran (AB) =

4.
A
O
P
BLayang – layang garis singgung.
Perhatikan gambar 2.4
Pada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan demikian ÐOAP = ÐOBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur.

Gambar 2.4

Perhatikan ∆ OAB
Pada ∆ OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga ∆ OAB adalah ∆ sama kaki.
Perhatikan ∆ ABP.
Pada ∆ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga ∆ABP adalah segitiga sama kaki. Segiempat OAPB terbentuk dari segitiga sama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB yang saling berimpit. Segiempat AOPB merupakan layang-layang AOPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segiempat AOPB disebut layang-layang garis singgung.
a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk layang-layang.
b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang yang garis singgung.
A
O
P
BContoh.
Perhatikan gambar disamping.
Dari titik P diluar lingkaran yang berpusat dititik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA = 9 cm dan OP = 15 cm. Hitunglah
a. Panjang AP c. Luas layang-layang AOPB
b.
Gambar 2.5 Luas ∆AOP d. Panjang tali busur AB


Penyelesaian
Perhatikan ∆AOP
a. ∆OAP siku-siku di titik A, sehingga
AP2 = OP2 – OA2
= 152 – 92
= 225 – 81
= 144
AP =
= 12 cm
b. Luas ∆OAP = x OA x AP
= x 9 x 12
= 54 cm2
c. Luas layang-layang OAPB = 2 x Luas ∆OAP
= 2 x 54
= 108 cm2
d. Luas layang-layang OAPB = x OP x AB
108 = x 15 x AB
AB = = 14,4 cm
Jadi panjang tali busur AB = 14,4 cm

Uji Kompetensi 1
1. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran berpusat O (0,0) dengan jari-jari 5 satuan panjang. Selanjutnya lukislah garis singgung lingkaran melalui titik A (0,5)
2. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat dititik A (3,2) dengan jari-jari 4 satuan panjang. Selanjutnya lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik B (-1,-2)
3.
A
O
P
B Pada gambar disamping adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik P. Jika Oa = 10 cm dan OP = 26 cm maka tentukan .
a. Panjang garis singgung PA
b. Luas layang-layang OAPB
c. Panjang tali busur AB

C. KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
Dua lingkaran dapat saling berpotongan, bersinggung atau tidak berpotongan sama sekali. Keadaan ini dapat diselidiki dengan membandingkan jarak titik pusat kedua lingkaran dengan jumlah jari-jarinya atau selisih jari-jarinya.
Misal lingkaran L berjari-jari r1 dan m berjari-jari r2 jika.
LM < (r1 + r2) maka kedua lingkaran berpotongan
LM = (r1 + r2) maka kedua lingkaran bersinggungan di luar
LM > (r1 + r2) maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam
LM = (r2 – r1) maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam
LM < (r2 – r1) maka kedua lingkaran kecil berada di dalam lingkaran besar
LM = 0 maka kedua lingkaran sepusat.



D. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN
1.
P
P
Q
B
r
d
R
L1
A
S
L2Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan alam dua lingkaran dapat menggunakan teorema pythagoras.
Pada gambar 2.6 dismaping dua buah lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q berjari-jari R dan r.


Gambar 2.6
Dari gambar tersebut diperoleh.
Jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R
Jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB = d. Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = P
Jika garis AB digeser ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ.
Garis SQ // AB, sehingga ÐPSQ = ÐPAB = 90o (sehadap)
Perhatikan segiempat ABQS.
Garis AB // SQ, AS // BQ, dan ÐPSQ = ÐPAB = 90o.
Jadi segiempat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r.
Perhatikan bahwa ∆PQS siku-siku dititik S. Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh.
QS2 = PQ2 – PS2
QS =
QS =
Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat P jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah.
d =


Contoh.
P
B
5 cm
A
Q
15 cm
4 cmPada gambar disamping panjang jari-jari PA = 5 cm, panjang jari-jari QB = 4 cm dan panjang PQ = 15 cm




Gambar 2.7
Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya
Penyelesaian
Diketahui PA = 5 cm QB = 4 cm dan PQ = 15 cm garis singgung persekutuan dalamnya adalah AB.
AB =
=
=
= = 12
Jadi panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm.


2.
P
R
A
r
L2
Q
B
d
P
L1
S Panjang Garis Singgung Persekutuan Luas Dua Lingkaran
Perhatikan gambar 2.8
Dari gambar tersebut diperoleh jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R. Jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r



Gambar 2.8

Panjang garis singgung persekutuan luas adalah AB = d. Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = P jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ.
Garis AB sejajar SQ, sehingga ÐPSQ = ÐPAB = 90o (sehadap)
Perhatikan segiempat ABQS.
Garis AB // SQ, AS // BQ dan ÐPSQ = ÐPAB = 90o. ∆PQS siku-siku di S, sehingga berlaku.
QS2 = PQ2 – PS2
QS =
QS =
Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat P, jari-jari lingkaran besar R dan jari-jari lingkaran kecil r adalah.
d =


Contoh.
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.
Penyelesaian
Panjang garis singgung persekutua luar adalah 12 cm maka d = 12.
Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm, maka P = 13, panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3,5 cm. Sehingga r = 3,5 panjang jari-jari lingkaran yang lain = R
d =
12 =
122 = 132 – (R – 3,5) 2
144 = 169 - (R – 3,5) 2
(R – 3,5) 2 = 25
R – 3,5 =
R – 3,5 = 5
R = 5 + 3,5 = 8,5 cm

Uji Kompetensi 2
1. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 12 cm dan 7 cm. Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah 23 cm. Tentukan
a. Panjang garis singgung persekutuan dalam
b. Panjang garis singgung persekutuan luar
2. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 5 cm dan 10 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luar 20 cm. Tentukan jarak titik pusat kedua lingkaran.
3. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 36 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 39 cm. Jika panjang salah satu jari-jarinya 6 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang lainnya.

E. MENENTUKAN PANJANG SABUK LILITAN MINIMAL YANG MENGHUBUNGKAN DUA LINGKARAN
Contoh.
Gambar 2.9 disamping
Menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masing-masing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut.
Gambar 2.9
Penyelesaian
I
C
G
H
A
B
F
E
D
7
7








Gambar 2.10
Hubungkan titik pusat ketiga lingkaran dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar 2.10, sehingga diperoleh panjang DE = FG = HI = AB = AC = BC = 2 x jari-jari = 14 cm segitiga ABC sama sisi sehingga
ÐABC = ÐBAC = ÐACB = 60o
ÐCBF = ÐABE = 90o (siku-siku)
ÐFBE = ÐGCH = ÐDAI = 360o – (60o + 90o + 90o)
Panjang busur lingkaran = x keliling lingkaran
Panjang = Panjang = panjang
= x 2 x x 7
= x 44
= cm
panjang sabuk lilitan minimal = DE + FG + HI + panjang + Panjang + panjang = ( 3 x panjang DE ) + ( 3 x panjang )
= 3 x 14 + 3 x
= 42 + 44
= 86 cm



Uji Kompetensi 3
1.




Gambar diatas adalah penampang tiga buah pipa air yang berbentuk tabung dengan diamter 14 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut.
2. Dua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali yang panjangnya 144 cm. Jika jari-jarinya sama maka tentukan panjang jari-jari kedua kayu.

F. MELUKIS LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA
1.
C
v v
x
x
F
B
A
E
D
r
r
r Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung bagian dalam ketiga sisi segitiga itu.
Titik pusat lingkaran dalam suatu segitiga adalah suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut dalam segitiga tersebut.



Gambar 2.11
Pada gambar 2.11, lingkaran berpusat di O menyinggung bagian adalah ∆ABC. OD = OC = OE = OF = r, maka OD tegak lurus AC, O tegak lurus AB. OF tegak lurus BC, OA, OB dan OC merupakan garis bagi ∆ABC.
Cara melukis lingkaran dalam segitiga ABC
(i) Lukiskan ∆ABC
(ii) Lukis pada segitiga itu garis bagi ÐBAC, ÐABC, dan ÐACB
(iii) Tuliskan perpotongan ketiga garis bagi itu sebagai titik O.
(iv) Putar dari titik O ke setiap perpotongan garis bagi terhadap sisi AC (titip D), sisi AB (titik E) dan sisi BC (titik F), akan diperoleh lukisan lingkaran dalam ∆ ABC

2.
A
B
C
b
a
t c
T
cMenentukan Panjang Jari-jari, Lingkaran Dalam Segitiga
Dasar untuk membahas masalah-masalah yang berhubungan dengan lingkaran dalam, dan lingkaran luar suatu segitiga, kita diharuskan mengingat kembali mengenai rumus luas
∆ ABC dan keliling ∆ ABC serta garis tinggi segitiga ABC.

Gambar 2.12
Perhatikan gambar 2.12
Panjang sisi dihadapan Ð A dinyatakan dengan a panjang sisi dihadapan Ð B dinyatakan dengan b panjang sisi dihadapan Ð C dinyatakan dengan c
Keliling ∆ ABC dinyatakn dengan 2 S, maka
K = a + b + c Û 2 S = a + b + c
S =



Dengan CT merupakan garis tinggi ke sisi ( sisi AB ), dinyatakan dengan tc, ditentukan oleh formula
tc =
Luas ∆ ABC dinyatakan dengan L dan ditentukan oleh formula :
L =
C
x
x
Q
B
A
P
R
O
b
aLingkaran disamping merupakan lingkaran dalam dari segitiga ABC dengan pusat di O.
AP = AR, BP = BQ, CQ = CR
OP = OQ = OR = r (jari-jari)
k . ∆ ABC = k ∆ ABCO + k . ∆ BCO + k . ∆ ACO
L =
= . r ( c + a + b )
= . r ( a + b + c )
L = . r . 2 S = r . s
r =
r =
r =
Dari uraian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
pada ∆ ABC, jari-jari lingkaran dalamnya ditentukan oleh formula :
r = atau r =
dengan
S = keliling ∆ ABC
A, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga ABC.

Contoh.
A
B
F
E
L
D
C Perhatikan gambar 2.14
Lingkaran L adalah lingkaran dalam segitiga siku-siku ABC. Jika AB = 6 cm dan AC = 8 cm, tentukan
a. Jari-jari lingkaran L
b. Luas daerah yang di arsir
Penyelesaian
a. Misal jari-jari lingkaran L = r
DL = AF = r
AD = FL = r
CD = AC – r = 8 – r
BF = AB – r = 6 – r
CE = CD – r = R – r

Gambar 2.14


BC =
=
=
=
= 10
BC = BE + CE
10 = BF + CD = 6 – r + 8 – r = 14 – 2r
2 r = 4
r = 2
Jadi jari-jari = 2 cm

b. Luas daerah yang diarsir = Luas ∆ ABC – luas lingkaran L
= 24 – p . 22
= 24 – 3,14 . 4
= 24 – 12,56
= 11,44
Jadi luas yang diarsir = 11,44 cm2

3. Melukis Lingkaran Luas Segitiga
O
R
B
A
C Perhatikan gambar 2.15 disamping.
(i) Tetapkan tiga titik A, B, dan C segaris
(ii) Hubungkan titik A dan titik B (garis AB), titik A dan titik C (garis AC)
(iii) Lukiskan garis sumbu untuk sisi AB dan sisi AC yang akan berpotongan di O
(iv)
Gambar 2.15Hubungkan titik O dengan A (OA = R)
(v) Putar O melalui titik A sejauh R
(vi) Hasil perputaran akan berupa sebuah lingkaran.

4. Menentukan Panjang Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga
D
c
O
a
b
C
A
B
E Untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga, perhatikan gambar 2.16.
Pada gambar tersebut, lingkaran yang berpusat dititik O adalah lingkaran luar ∆ ABC.
Misalkan
OB = OC = OE = r
BC = a, AB = b, AB = c
Luas ∆ ABC = L
Tariklah garis tinggi CD dan diameter CE.
Ð CAD = Ð CEB ( sudut keliling yang menghadap busur yang sama) dan Ð ADC = Ð EBC (siku-siku) akibatnya Ð ACD = Ð ECB.
Hal itu menunjukkan bahwa ∆ ADC sebangun dengan ∆ ECB. Sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.
=
CD = .............................. (i)
EC = .............................. (ii)
Kita peroleh
Luas ∆ ABC = x AB x CD
L = x AB x CD
2 L = AB x CD
CD = .............................. (iii)
Dengan menyubstitusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii) kita peroleh
EC =
2 r = .......... ( Karena EC = d = 2 r)
r = atau r =
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah.
R = atau r =
dengan r = jari-jari lingkaran luas ∆ ABC. a, b, dan c = panjang sisi ∆ ABC.
L = luas ∆ ABC
S = keliling segitiga
Contoh.
Diberikan ∆ ABC dengan panjang AB = 17 cm, BC = 10 cm, dan AC = 21 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar (r) ∆ ABC
Penyelesaian
AB = 17 cm = C
BC = 10 cm = a Þ S = = = 24 cm
AC = 21 cm = b
S – a = 24 – 10 = 14
S – b = 24 – 21 = 3
S – c = 24 – 17 = 7
r =
=
=
=
=
= 10,625 cm








Uji Kompetensi 4
1. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 7 cm, 24 cm, dan 25 cm. hitunglah panjang jari-jari lingkaran luarnya.
2. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 20 cm, 34 cm, dan 42 cm. hitunglah panjang
a. Jari-jari lingkaran dalam
b. Jari-jari lingkaran luar
3. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2 dm
4. Jika panjang sisi-sisi sebuah segitiga 8 cm, 105 cm dan 137 cm, hitunglah
a. Panjang jari-jari lingkaran dalamnya
b. Panjang jari-jari lingkaran luarnya

Rangkuman
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.
Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut.
Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut.
Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang-layang.
Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.
Panjang garis persekutuan dalam dari dua lingkaran.
d =
Panjang garis singgung persekutuan luas dari dua lingkaran
d =
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah
r = atau r =
dengan r = panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga
S = keliling ∆ ABC
L = Luas segitiga
a, b,c = panjang sisi-sisi segitiga
Panjang jari-jari lingkaran luar sgeitiga adalah
r = atau r =
dengan r = panjang jari-jari lingkaran luas segitiga
L = luas segitiga
S = keliling segitiga
a, b,c = panjang sisi-sisi segitiga






Evaluasi 2
Diketahui panjang jari-jari dua buah lingkaran masing-masing 7 cm dan 5cm. Jarak kedua pusat lingkaran 20 cm. Hitunglah
a. Panjang garis singgung persekutuan dalam
b. Panjang garis singgung persekutuan luar
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing 22 cm dan 4 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 24 cm, hitunglah jarak kedua pusatnya !
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 20 cm. Jika jari-jari kedua lingkaran itu masing-masing 9 cm dan 6 cm. Hitunglah jarak kedua pusatnya !
Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 7 cm dan 3 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm maka tentukan
a. Jarak kedua pusat lingkaran
b. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya
Diketahui empat tong minyak berbentuk tabung diikat menjadi satu untuk diuji kembali. Susulah empat tong tersebut agar panjang tali yang digunakan untuk mengikatnya minimal, kemudian hitung pula panjangnya, jika diameter tong 14 cm.

BAB 3
KUBUS DAN BALOK


Tujuan Pembelajaran pada bab ini adalah
- Dapat menyebutkan unsur-unsur kubus dan balok
- Dapat membuat jaring-jaring kubus dan balok
- Dapat menemukan rumus dan menghitung luas permukaan kubus dan balok
- Dapat menemukan rumus dan menghitung volume kubus dan balok

A. MENGENAL BANGUN RUANG
1. Mengenal Berbagai Macam Bangun Ruang





(a)
(b)
(c)
(d)
(e)





(f)
(g)
(h)
(i)


Gambar 3.1

Perhatikan bangun-bangun ruang pada gambar 3.1
Marilah kita ingat kembali macam-macam bangun ruang yang telah kalian kenal. Nama bangun-bangun ruang tersebut sebagai berikut.
a. Kubus d. Tabung g. Limas segilima
b. balok e. Limas segitiga h. Kerucut
c. Primas segitiga f. Limas segi empat i. Bola

2.
W
V
U
T
P
Q
R
S
Titik sudut

Sisi

Rusuk
H
G
F
E
A
B
C
D
Titik sudut

Sisi

Rusuk Mengenal Sisi, Rusuk, dan Titik Sudut Kubus maupun Balok





(a) (b)
Gambar 3.2
Perhatikan gambar 3.2
Kubus ABCD EFGH dibatasi oleh bidang ABCD, ABFC, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. Bidang-bidang tersebut disebut sisi-sisi kubus ABCD, EFGH.
dan disebut rusuk-rusuk kubus ABCD EFGH.
Titik-titik A, B, C, D, E, F, G, dan H disebut titik sudjut kubus ABCD EFGH
Coba kaian bandingkan dengan balok pada gambar 3.2 (b). Setiap daerah persehi pada kubus dan daerah persegi panjang pada balok disebut bidang atau sisi, perpotongan dua buah daerah persegi panjang pada balok disebut rusuk. Adapun titik potog antara tiga buah rusuk disebut titik sudut.

3. Bangun dari Sisi Kubus dan Balok





(a) (b)
Gambar 3.3
Perhatikan gambar 3.3
a. Sebuah kubus memiliki enam sisi berbentuk persegi kongruen.
b. Suatu balok mempunyai tiga pasang sisi berbentuk daerah persegi panjang yang setiap pasangnya kongruen.

Uji Kompetensi 1
1. Lukislah sebuah kubus dan sebuah balok. Dapatkan kalian menentukan sifat-sifat kubus dan balok tersebut dipandang dari, sisi, rusuk dan titik sudutnya ?
2. Lukislah sebuah kubus dengan panjang rusuk 4 cm. Berapakah jumlah panjang rusuk kubus tersebut ?

4. Rusuk-rusuk yang Sejajar pada Bangun Ruang
H
G
F
E
A
B
C
D
Gambar 3.4Perhatikan gambar 3.4
Pada kubus ABCD EFGH pasangan ruas garis yang sejajar antara lain.
a. dengan
b. dengan
c. dengan
Adapun pasangan ruas garis yang tidak sejajar antara lain.
a. dengan
b. dengan
c. dengan
Jika kita perhatikan pasangan dengan maka ruas garis-ruas garis tersebut tidak berpotongan meskipun diperpanjang kedua ujungnya. Demikian halnya pada pasangan dan serta dan . Meskipun tidak berpotongan, namun garis-garis tersebut termasuk garis-garis tidak sejajar. Berarti ada syarat lain yang harus dipenuhi agar sepasang garis dikatakan sejajar dalam suatu bidang ruang. dan serta garis dan terletak pada satu bidang, yaitu bidang ABCD dan ABFE. Adapun , dan , dan , serta dan terletak pada bidang yang berlainan.
Jika dua garis dalam suatu bangun ruang tidak berpotongan terletak pada satu bidang yang berlainan maka kedua garis tersebut dikatakan bersilangan.
Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut

Dua garis dalam suatu bangun ruang dikatakan sejajar, jika kedua garis itu tidak berpotongan dan terletak pada satu bidang





R
Q
P
O
K
L
M
N Perhatikan gambar 3.5 balok KLMN. OPQR. Ruas garis yang sejajar adalah.
a. // // //
b. // // //
c. // // //
Gambar 3.5

Coba bahan sebutkan ruas garis yang tidak sejajar pada balok KLMN. OPQR tersebut.

5. Mengenal Digonal Bidang, Diagonal Ruang dan Bidang Diagonal.
W
V
U
T
P
Q
R
S Perhatikan bidang TUVW pada gambar 3.6 ruas garis yang menghubungkan titik sudut T dan V serta U dan W disebut diagonal bidang atau diagonal sisi. Dengan demikian, bidnag TUVW, mempunyai dua diagonal yaitu dan . Jadi setiap bidang pada balok mempunyai dua diagonal bidang.
Gambar 3.6
Diagonal bidang suatu balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok.



Perhatikan kembali gambar 3.6
Hubungan titik P dan U, Q dan W, R dan T, atau S dan U, , , , dan disebut diagonal ruang. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan disatu titik.
Diagonal ruang pada balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang



H
G
F
E
A
B
C
D
H
G
F
E
A
B
C
D
H
G
F
E
A
B
C
D






Gambar 3.7
Bidang diagonal merupakan bidang didalam kubus yang dibuat melalui dua buah rusuk yang saling sejajar tetapi tidak terletak pada satu sisi.



Bidang diagonal kubus berbentuk persegi panjang dan bidang diagonal kubus dibatasi oleh empat garis lurus yaitu dua rusuk kubus dan dua diagonal sisi yang saling sejajar. Sebuah kubus mempunyai 6 buah bidang diagonal diantaranya seperti terlihat pada gambar 3.7.

6. Melukis Kubus dan Balok
T
W
V
U
S
R
Q
P
W
V
U
T
P
Q
R
S
E
H
G
F
D
C
B
A
H
G
F
E
A
B
C
D
(a) (b)










(c) (d)
Gambar 3.8

Gambar 3.8 menunjukkan cara melukis kubus dan balok dilihat dari depan. Bagian yang tidak terlihat ditunjukkan dengan garis putus-putus. Untuk melukis kubus, perhatikan langkah-langkah berikut.
(a) Lukislah sisi kubus bagian depan dan bagian belakang yang berbentuk persegi (persegi PQUT dan SRVW). Rusuk yang tidak terlihat dari depan digambar putus-putus (rusuk dan )
(b) Hubungkan rusuk-rusuk yang mengarah dari depan dan ke belakang (rusuk , , , dan ) kubus PQRS TUVW terbentuk seperti gambar 3.8 (b)
Cara melukis balok sama dengan cara melukis kubus hanya perbedaannya terletak pada bentuk sisinya, yaitu berbentuk persegi panjang. Perhatikan cara melukis balok ABCD EFGH pada gambar 3.8 (c) dan (d)

Uji Kompetensi 2
1. Lukislah sebuah kubus ABCD EFGH pada kertas berpilih dengan rusuk 4 satuan
a. Sebutkan pasangan garis yang sejajar
b. Sebutkan pula tiga pasang ruas garis yang bersilangan
2. Lukislah sebuah balok EFGH IJKL pada kertas berpetak dengan ukuran panjang 5 satuan dan 3 satuan.
a. Lukislah semua diagonal bidangnya
b. Berapa banyak diagonal bidnag yang dapat dilukis ?
3. Pada bangun balok yang kalian lukis (soal nomor 2), lukis diagonal ruangnya. Ada beberapa banyak diagonal ruang yang dapat dilukis ?
4. a. Lukislah sebuah kubus IJKL MNOP pada kertas berpetak dengan rusuk 5 satuan dan IJKL sebagai bidang alasnya.
b. Hitunglah jumlah panjang diagonal bidang pada kubus tersebut
c. Hitunglah pula jumlah panjang diagonal ruang pada kubus tersebut

B. MODEL KERANGKA SERTA JARING-JARING KUBUS DAN BALOK
1. Model Kerangka Kubus dan Balok

8 cm
8 cm
8 cm
14 cm
6 cm
8 cm




Gambar 3.9
Model rangka bangun ruang pada umumnya dapat dibuat dari lidi, kawat, kayu atau bahan-bahan lainnya. Masing-masing direkatkan dengan lem kuat, patri / las dan paku.
Pada gambar 3.9 terlihat bahwa bahan untuk kubus dalam pembuatan kubus model rangkanya memerlukan 12 batang lidi dalam ukuran yang sama. Sedangkan untuk pembuatan rangka balok kita memerlukan tiga kelompok ukuran, yaitu panjang (4 buah), tinggi (4 buah), dan lebar (4 buah) yang masing-masing sama panjang. Model rangka kubus ataupun balok masing-masing direkatkan pada 8 titik, hal ini sesuai dengan banyaknya pojok (titik sudut) pada kubus dan balok.
Pada gambar 3.9 (a)
Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang, maka panjang kawat yang dibutuhkan adalah 12 x 8 cm = 96 cm.
Gambar 3.9 (b) panjang kawat yang dibutuhkan
= ( 4 x 14 cm) + ( 4 x 8 cm ) + ( 4 x 6 cm)
= 56 cm + 32 cm + 24 cm
= 112 cm
atau
Panjang kawat yang dibutuhkan
= 4 x ( 14 cm + 8 cm + 6 cm )
= 4 x 28 cm = 112 cm

Uji Kompetensi 3
1. Intan memiliki kawat sepanjang 156 cm. Ia ingin menggunakan kawat tersebut untuk membuat kerangka kubus. Berapa panjang rusuk kubus agar kawat tidak tersisa ?
2. Diketahui sebatang kawat mempunyai panjang 236 cm. Kawat itu akan dibuat model kerangka berbentuk kubus dan balok. Jika ukuran balok tersebut ( 12 x 8 x 5 ) cm, tentukan panjang rusuk kubus.
3. Hitunglah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kotak kapur tulis berukuran ( 7 x 4 x 5 ) cm.
4. Ratna akan membuat 15 buah kerangka balok yang masing-masing berukuran 25 cm x 20 cm x 15 cm. Bahan yang akan digunakan terbuat dari kawat yang harganya Rp. 1.750 / m
a. Hitunglah jumlah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat balok tersebut.
b. Hitunglah biaya yang diperlukan untuk membeli bahan / kawat.

2. Jaring-jaring Kubus dan Balok
Kegiatan
a.
G
G
G
F
F
F
E
E
A
D
H
H
C
B
H
G
F
E
A
B
E
D Buatlah model kubus dari karton dengan panjang 6 cm dan beri nama seperti gambar 3.10 (a)






(a)


(b)
Gambar 3.10
b. Guntinglah sepanjang rusuk dan
c. Buka / bentangkan kubus menurut rusuk-rusuk yang telah digunting tadi, sehingga diperoleh bangun seperti gambar 3.10.
Jika kalian telah melakukan kegiatan diatas, bangun yang kalian peroleh disebut jaring-jaring kubus
Jaring-jaring kubus adalah sebuah bangun datar yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada dua persegi yang berdekatan akan membentuk bangun kubus



R
Q
M
N
R
R
O
O
O
K
O
P
L
P Lakukan kegiatan yang sama seperti diatas untuk memperoleh jaring-jaring balok seperti pada gambar 3.11 (b).
R
Q
P
O
K
L
M
N






(a)


(b)
Gambar 3.11
Jaring-jaring balok adalah sebuah bangun datar yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada dua persegi yang berdekatan akan membentuk bangun balok




Sebuah kubus atau balok memiliki lebih dari satu jaring-jaring yang berbeda. Dapatkah kalian membuat kemungkinkan lain jaring-jaring dari kubus dan balok. Ujilah jawabanmu dengan melipat kembali jairng-jaring tersebut.

Uji Kompetensi 4
1. Jaring-jaring kubus dibawah ini akan membentuk kubus dengan berbagai posisi. Apabila daerah yang terarsir merupakan alas kubus. Tentukan tutup kubus.
A

B
D
C
E
E

D
B
A
C
D
C
A
E
B a. b. c.






2. Lengkapi gambar berikut agar menjadi jaring-jaring kubus







a. b. c.








3. Manakah diantara rangkaian daerah persegi panjang pada gambar dibawah ini yang merupakan jairng-jaring balok ?
a. b. c.





4. Buatlah model balok dengan panjang 6 cm, lebar 4 cm dan tinggi 3 cm. Carilah kemungkinan-kemungkinan jaring-jaring balok yang berlainan yang dapat dibuat dari balok tersebut.


C. LUAS PERMUKAAN SERTA VOLUME KUBUS DAN BALOK
1.
H
G
F
E
A
B
C
D
S
S
S Luas Permukaan Kubus Dan Balok
Gambar 3.12 menunjukkan sebuah kubus yang panjang setiap rusuknya adalah S.
Sebuah kubus mempunyai 6 buah sisi yang rusuknya sama panjang pada gambar 3.12 keenam sisi tersebut adalah sisi ABCD, ABFC, BCGF, EFGH, CDHG dan ADHE.

Gambar 3.12
Karena panjang setiap rusuk kubus S, maka luas setiap sisi kubus = S2. dengan demikian luas permukaan kubus = 6S2.
L = 6 S2 dengan L = Luas permukaan kubus
S = Panjang rusuk kubus
H
G
F
E
A
B
C
D



Untuk menentukan luas permukaan balok. Perhatikan gambar 3.13. Balok pada gambar 3.13 mempunyai tiga pasang sisi yang tiap pasangnya sama dan sebangun, yaitu :
(a) Sisi ABCD sama dan sebangun dengan sisi EFGH
(b)
Gambar 3.13Sisi ADHE sama dan sebangun dengan sisi BCGF
(c) Sisi ABFE sama dan sebangun dengan sisi DCGH
Luas permukaan ABCD = luas permukaan EFGH = p x ℓ
Luas permukaan ADHE = luas permukaan BCGF = ℓ x t
Luas permukaan ABFE = luas permukaan DCGH = p x t
Luas permukaan balok sama dengan jumlah ketiga pasang sisi yang saling kongruen pada balok tersebut. Luas permukaan balok dirumuskan sebagai berikut.
L = 2 ( p x ℓ ) + 2 ( ℓ x t ) + 2 ( p x t )
= 2 { ( p x ℓ ) + ( ℓ x t ) + ( p x t ) }
dengan L = luas permukaan balok
p = panjang balok
ℓ = lebar balok
t = tinggi balok








Contoh.
1. Sebuah kubus panjang setiap rusuknya 7 cm. Tentukan luas permukaan kubus !
Penyelesaian
Luas permukaan kubus = 6 S2
= 6 x 72
= 294 cm2
2. Sebuah balok berukuran ( 6 x 5 x 3 ) cm. Tentukan luas permukaan balok.
Penyelesaian
Balok berukuran ( 6 x 5 x 3 ) cm artinya panjang = 6 cm lebar = 5 cm dan tinggi = 4 cm
Luas permukaan balok = 2 { ( p x ℓ ) + ( ℓ x t ) + ( p x t ) }
= 2 { ( 6 x 5 ) + ( 5x 3 ) + ( 6 x 3 ) }
= 2 ( 30 + 15 + 18 )
= 2 x 63
= 126 cm2

Uji Kompetensi 5
1. Hitunglah luas permukaan kubus, jika panjang rusuknya sebagai berikut :
a. 2 cm c. 10 dm
b. 9,5 cm d. 10,5 m
2. Hitunglah luas permukaan kubus yang rusuknya seperti berikut dalam satuan mm2, cm2, dan m2.
a. 9 mm c. 0,025 m
b. 5,1 cm
3. Sebuah lantai keramik persegi berukuran sisi 15 cm dan ketebalan 5 mm. Hitunglah luas permukaan keramik itu dalam satuan cm2.

2. Volume Kubus dan Balok
Volume kubus ( V ) dengan panjang rusuk 5 sebagai berikut
V = rusuk x rusuk x rusuk
= S x S x S
= S3




Contoh.
Sebuah kubus memiliki rusuk 4 cm. Tentukan volume kubus.
Penyelesaian
Panjang rusuk kubus 4 cm
Volume kubus = S x S x S
= 4 x 4 x 4
= 64
Jadi, volume kubus itu adalah 64 cm3
Volume balok ( V ) dengan ukuran ( p x ℓ xt ) dirumuskan sebagai berikut.
V = panjang x lebar x tinggi
= p x ℓ x t



Contoh.
Sebuah balok mempunyai alas berbentuk persegi dengan sisi 8 cm. Berapakah tinggi balok itu, jika balok itu mampu memuat 384 cm3 air ?
Penyelesaian
Luas alas = 8 cm x 8 cm = 64 cm2
Tinggi balok = = = 6 cm
Jadi tinggi balok tersebut adalah 6 cm

Uji Kompetensi 6
1. Panjang semua rusuk kubus 240 dm. Hitunglah volume kubus tersebut (dalam cm )
2. Diketahui luas permukaan sebuah kotak berbentuk kubus 96 cm2. Hitunglah volume kotak tersebut.
3. Sebuah mainan berbentuk balok volume 140 cm3. Jika panjang mainan 7cm dan tinggi mainan 5 cm, tentukan lebar mainan tersebut.
4. Menentukan luas permukaan dan volume kubus serta balok jika ukuran rusuknya berubah.
Jika panjang rusuk suatu kubus = S, luas permukaan = L dan volume V, kemudian panjang rusuk kubus itu diperbesar atau diperkecil k kali maka.
(a) Luas baru = Lbaru = 6 (k s x k s)
= 6 k2 s2
= k2 x 6 s2
= k2 L
dengan Lbaru = Luas permukaan kubus setelah diperbesar atau diperkecil
(b) Vbaru = k s x k s x k s
= k3 s3
= k3 V
dengan Vbaru = Volume kubus setelah diperbesar atau diperkecil
V = Volume kubus semula
Suatu balok mempunyai panjang = p, lebar = ℓ, tinggi = t, luar permukaan = L, dan volume = V. Balok itu kemudian di ubah ukurannya menjadi panjang = ap, lebar = bℓ, dan tinggi = ct, dengan a, b, c konstanta positif.
(a) Lbaru = 2 { (ap x bℓ ) + ( bℓ x ct ) + ( ap x ct ) }
= 2 { ab ( p x ℓ ) + bc ( ℓ x t ) + ac ( p x t ) }
(b) Vbaru = ap x b ℓ x ct
= abc ( p x ℓ x t )
= abc V

Contoh
Sebuah kubus panjang rusuknya 8 cm, kemudian rusuk tersebut diperkecil sebesar kali panjang rusuk semula. Berapa volume kubus setelah diperkecil?
Penyelesaian
V = S3 = 83 = 512 cm2
k =
Vbaru = k3 x V
= x 512 cm3
= x 512 cm3 = 64 cm3
Jadi Volume kubus setelah rusuknya diperkecil kali semula adalah 64 cm3.

Uji Kompetensi 7
1. Volume sebuah kubus sama dengan volume balok yaitu 1.000 cm3. diketahui panjang balok dua kali panjang kubus dan tinggi balok setengah kali lebar balok tentukan luas seluruh permukaan balok.
2. Intan ingin membuat akuarium berbentuk balok dengan volume 9 cm3. Ia menginginkan lebar akuarium 15 cm dengan panjang dua kali lebarnya dan kedalaman lima lebihnya dari ukuran lebar.
a. Tentukan ukuran akuarium tersebut.
b. Tentukan luas seluruh permukaan akuarium
3. Ratna akan membuat 10 tempat kapur tulis berbentuk kubus dengan volume 1.331 cm3
a. Tentukan panjang rusuk tempat kapur tulis tersebut
b. Tentukan volume totalnya.

Rangkuman
1. Kubus dan balok, masing-masing memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut.
2. Suatu kubus memiliki 6 sisi berbentuk persegi yang kongruen.
3. Suatu balok mempunyai 3 pasang sisi berbentuk persegi panjang yang setiap pasangnya kongruen.
4. Dua garis dalam suatu bangun ruang dikatakan sejajar, jika kedua garis itu tidak berpotongan dan terletak pada satu bidang.
5. Diagonal bidang suatu bangun ruang dikatakan sejajar, jika kedua garis itu tidak berpotongan dan terletak pada satu bidang
6. Diagonal bidang suatu kubus atau balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang kubus atau balok.
7. Bidang diagonal suatu kubus atau balok adalah bidang yang dibatasi dan rusuk dan dua diagonal suatu kubus atau balok.
8. Jika panjang rusuk suatu kubus a maka jumlah panjang rusuknya = 12a
9. Jika sebuah balok berukuran panjang = p, lebih = ℓ dan tinggi = t maka jumlah panjang rusuknya = 4 ( p + ℓ + t )
10. Luas permukaan kubus = 6 S2. Volume kubus = S3
11. Luas permukaan balok = 2 { ( p x ℓ ) + ( ℓ x t ) + ( p x t ) }

Evaluasi 3
1. Sebuah tangki minyak berbentuk balok berukuran 40 cm, 25 cm dan 50 cm. Hitunglah volume tangki itu dalam liter.
2. Jika perbandingan luas permukaan dua balok adalah 25 : 4 maka tentukan perbandingan volume kedua balok itu ?
3. Hitunglah volume kubus yang panjang diagonal ruangnya 2,5 m
4. Hitunglah luas permukaan balok jika diketahui
a. V = 24 cm3, p = 4 cm dan ℓ = 3 cm
b. V = 315 cm3, p = 9 cm dan ℓ = 7 cm

BAB 4
BANGUN RUANG SISI DATAR LIMAS DAN PRISMA TEGAK


Tujuan Pembelajaran
- Dapat menyebutkan unsur-unsur prisma dan limas
- Dapat membuat jaring-jaring prima tegak dan limas
- Dapat menemukan rumus dan menghitung luas permukaan prisma dan limas
- Dapat menemukan rumus dan menghitung volume prisma dan limas.

A. BANGUN RUANG PRISMA DAN LIMAS
1. Prisma




(a) (b) (c)
Gambar 4.1
Perhatikan gambar 4.1 gambar tersebut menunjukkan beberapa contoh bangun ruang prisma. Bangun-bangun ruang tersebut mempunyai bidang alas dan bidang atas yang sejajar dan kongruen. Sisi lainnya berupa sisi tegak berbentuk jajargenjang atau persegi panjang yang tegak lurus ataupun tidak tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atasnya. Bangun seperti itu dinamakan prisma.
Berdasarkan rusuk tegaknya, prisma dibedakan menjadi dua, yaitu prisma tegak dan prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas gambar 4.1 (c) adalah salah satu contoh prisma miring prisma miring disbeut juga prisma condong.
Berdasarkan bentuk alasnya, terdapat prisma segitiga, prisma segiempat, prisma segilima dan seterusnya. Jika alasnya berupa segi n beraturan maka disebut prisma segi n beraturan.
Gambar 4.1 (a) disebut prisma tegak segi empat gambar 4.1 (b) disebut prisma tegak segitiga, dan gambar 4.1 (c) disebut prisma miring segiempat beraturan.

2.
T
C
B
A
D Limas
Perhatikan gambar 4.2 gambar tersebut adalah segiempat T. ABCD dengan bidang alas ABCD. Dari gambar tersebut,kita dapat memperoleh hal-hal berikut.
a. Titik A, B, C, dan D adalah titik sudut bidang alas limas dan titik T adalah titik puncak limas.
b.
Gambar 4.2 dan disebut rusuk tegak limas beraturan maka

c. ∆ TAB, ∆ TBC, ∆ TCD dan ∆ TAD adalah sisi tegak limas. Jika limas beraturan maka masing-masing sisi tegak berbentuk segitiga sama kaki yang sama dan sebangun.
d. dan adalah rusuk bidang alas limas ( jika limas beraturan maka
e. adalah tinggi limas



B. DIAGONAL BIDANG, DIAGONAL RUANG, SERTA BIDNAG DIAGONAL PRISMA DAN LIMAS
1.
I
H
C
G
D
A
B
E
J
F Diagonal Bidang, Diagonal Ruang dan Bidang Diagonal pada Prisma
Perhatikan gambar 4.3 gambar tersebut menunjukkan bangun prisma segilima beraturan. Prisma segi lima beraturan memiliki bidang alas, bidnag atas dan bidang sisi tegak. Diagonal bidang alas prisma segi lima ABCDE FGHIJ. Pada gambar disamping antara lain dan


Gambar 4.3
Bidang diagonalnya antara lain ACHF, ADIF dan ECHJ. Ruas garis AH, AI dan EH adalah contoh diagonal ruang prisma tersebut.
Setelah memahami uraian diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut
a. Diagonal bidang alas adalah garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak bersebelahan pada bidang alas.
b. Bidang diagonal adalah bidang yang memuat diagonal bidang alas dan diagonal bidang alas serta keduanya sejajar.
c. Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan titik sudut pada bidang atas yang tidak terletak pada sisi tegak yang sama.
Banyak diagonal bidang alas prima segi n =
Banyak bidang diagonal prima segi n =
Banyak diagonal ruang prima segi n = n (n + 3) dengan n = banyak sisi suatu segi banyak.

2.
E
T
D
C
B
A Diagonal Bidang Alas, Diagonal Ruang, dan Bidang Diagonal pada Limas
Gambar 4.4 menunjukkan limas T. ABCDE dengan alas berbentuk segi lima beraturan. Diagonal bidang alasnya adalah dan , sedangkan bidang diagonalnya adalah TAC, TAD, TBD, TBE, dan TCE




Gambar 4.4

3. Banyak Sisi, Rusuk, dan Titik Sudut Prisma Tegak dan Limas Beraturan
a. Prisma Tegak Beraturan
W
V
U
T
S
R
Q
P Perhatikan gambar 4.5
Gambar 4.5 menunjukkan bangun prisma tegak segiempat PQRS. TUVW prisma PQRS. TUVW mempunyai dua sisi (alas dan atas) yang sejajar dan kongruen yaitu PQRS. TUVW memiliki empat sisi tegak yang kongruen, yaitu PQUT, SRUW, QRVU, dan PSWT.

Rusuk-rusuk sisi alasnya adalah dan . Rusuk-rusuk tegak pada prisma tersebut adalah dan . Titik-titik sudut prisma tersebut ada 8 yaitu P, Q, R, S, T, U, V, dan W

b. Limas Beraturan
T
C
B
A
D Perhatikan gambar 4.6.
Gambar 4.6 menunjukkan bangun limas segiempat beraturan T. ABCD Limas tersebut memiliki empat rusuk tegak, yaitu dan yang sama panjang. Rusuk-rusuk alasnya adalah dan . Rusuk-rusuk alas tersebut sama panjang, karena alasnya berbentuk segiempat beraturan.
Gambar 4.6
Bidang ABCD adalah alas limas T. ABCD limas T. ABCD memiliki empat sisi tegak yang sama dan sebangun, yaitu TAB, TBC, TAD, dan TCD. Titik-titik sudut limas T. ABCD ada lima, coba sebutkan. Apakah titik T merupakan titik puncak T. ABCD ?

Uji Kompetensi 1
1. Hitunglah banyak sisi yang terdapat pada masing-masing bangun ruang berikut ini !
a. Prisma segi delapan beraturan
b. Prisma segi dua belas beraturan
c. Prisma segi – n beraturan
2. Tentukan banyaknya diagonal bidang, diagonal ruang, dan bidang diagonal pada bangun ruang berikut.
a. Prisma segi lima
b. Prisma segi delapan
c. Prisma segi sepuluh
d. Limas segi lima beraturan
e. Limas segi enam beraturan
3. Lukis limas segi lima beraturan T. ABCD. Dari gambar yang telah kalian lukis, sebutkan.
a. Rusuk-rusuk yang sama panjang
b. Sisi-sisi yang sama dan sebangun
c. Jumlah diagonal sisi alasnya
d. Jumlah bidang diagonalnya.

C.
N
P
K
L
M
N
P
K
L
L
O
M
L
O
O JARING-JARING PRISMA DAN LIMAS
1. Jaring-jaring Prisma






Gambar 4.7 Gambar 4.8
Buatlah bangun prisma seperti gambar 4.7 dari kertas karton. Guntinglah sepanjang rusuk-rusuk ,dan . Jika cara mengguntingmu tepat, kalian akan mendapatkan bentuk seperti gamba 4.8. Bentuk seperti itu disebut jaring-jaring prisma.


2. Jaring-jaring Limas
Seperti halnya pada prisma kalian juga dapat membuat jaring-jaring limas buat bangun limas seperti gambar 4.9 (a) dari kertas karton guntinglah sepanjang rusuk dan . Kalian akan memperoleh bentuk seperti gambar 4.9 (b). Bentuk itulah yang disebut jarring-jaring limas.
T
C
B
A
D
T
T
T
T
D
C
A
B Jadi, Jaring-jaring prisma atau limas akan kalian dapatkan jika kalian membuka atau membentangkan prisma atau limas tersebut.







(a) (b)
Gambar 4.9

3. Melukis Prima Tegak dan Limas Beraturan
Untuk melukis prisma tegak, perhatikan langkah-langkah berikut.
(a) Lukis bidnag alas prisma terlibih dahulu. Jika bidang alasnya berbentuk segi n beraturan maka perhatikan besar setiap sudut pusatnya. Selanjutnya, lukislah segi n beraturan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
(i) Lukis suatu lingkaran yang berpusat dititik O dan jari-jari r
(ii) Bagi sudut pusat menjadi n bagian yang sama besar
(iii) Lukis jari-jari lingkaran yang membatasi sudut pusat
(iv) Hubungkan tali-tali busurnya, sehingga menghasilkan segi n beraturan yang diminta
(b) Lukis rusuk tegak prisma, tegak lurus bidang alas dan sama panjang
(c) Hubungkan rusuk atasnya, sehingga membentuk bidang atas prisma, yang sejajar dan kongruen dengan bidang alas.
J
I
D
H
E
B
C
A
F
G


72o
O






(a) (b) (c) prisma tegak segi lima

Gambar 4.10

Cara melukis limas beraturan sama dengan cara melukis prisma tegak beraturan, hanya perbedaannya terletak pada rusuk tegaknya. Untuk melukis rusuk tegak limas, lukis terlebih dahulu tinggi limas yang tegak lurus bidang alas dan berujung pada titik puncak limas. Kemudian lukis rusuk tegaknya dengan menghubungkan titik dusut bidang alas dengan titik puncak limas.




O
D
C
B
A
E
O





(a) (b)
Limas segi lima beraturan
Gambar 4.11

Gambar 4.10 dan 4.11 menunjukkan langkah-langkah melukis prisma tegak segi lima dan limas segi lima beraturan.
Besar satu sudut pusat segi lima beaturan = = 72o
Besar sudut segi banyak beraturan sebagai berikut.
Besar satu sudut segi banyak beraturan adalah
Besar satu sudut pusat segi banyak beraturan adalah x 360o dengan n = banyak segi.

Uji Kompetensi 2
1. Lukislah prisma segi enam beraturan dengan panjang sisi alas 2 cm dan tinggi prisma 5 cm
2. gambarlah prisma jajar genjang dengan ukuran sisi alasnya 2 cm x 3 cm dan tinggi prisma 4 cm
3. Lukislah prisma segitiga tegak PQR.STU dengan PQR segitiga siku-siku di P, PR = 4 cm, PQ = 3 cm dan PS = 6 cm.
4. Gambalah limas segi enam beraturan beserta jaring-jairngnya.

D. LUAS PERMUKAAN PRISMA DAN LIMAS
1. Luas Permukaan Prisma
Prisma merupakan bangun ruang sisi datar, sehingga luas permukaannya mengikuti prinsip luas bangun ruang sisi datar.
Luas permukaan sebuah prisma adalah jumlah semua luas sisi prisma itu


Prisma segitiga siku-siku.
Perhatikan gambar prisma segitiga siku-siku ABC. DEF dan jaring-jaringnya dibawah ini.
B
A
C
C
a
b
t
D
F
E
B
F
F
F
C
C
C
C
E
D
C
t
t
t
t
a
A
b
b
b
a
a







Gambar 4.12
Luas permukaan prisma ABC. DEF
= Luas ∆ ABC + Luas o ADFG + Luas o ABED +
Luas o BCFE + Luas ∆ DEF
= + bt + ct + at +
= ab + ( bt + ct + at )
Jadi, Luas permukaan prisma ABC. DEF
= ab + ( a + b + c ) t
Pada semua prisma tegak berlaku
Luas permukaan prisma tegak = 2 luas alas + ( keliling alas x tinggi )


Contoh.
D
F
C
B
E
A
6 cm
5 cm
3 cm
4 cm Penyelesaian
Luas permukaan prisma
= 2 luas alas + (keliling alas x tinggi )
= 2 ( x 3 x 4 ) + [ (3 + 4 + 5 ) x 6 ]
= 12 + 72
= 84
Gambar 4.13
Jadi luas permukaan prisma adalah 84 cm2

Uji Kompetensi 3
1. Tentukan luas permukaan prisma segitiga apabila luas alasnya 14 m2. Jumlah luas bidang tegaknya 20 m2 dan luas tutupnya 14 m2.
2. Apabila panjang rusuk bidang alas dan rusuk tegak sebuah prisma segi empat beraturan ABCD. EFGH masing-masing adalah 1 cm dan 2 cm, hitunglah luas seluruh pemrukaan prisma tersebut.
3. Sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi miring 26 cm dan salah satu sisi siku-sikunya 10 cm. Jika luas permukaan prisma 960 cm2, tentukan tinggi prisma.
4. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal masing-masing 12 cm dan 16 cm. Jika tinggi prisma 18 cm, hitunglah
a. Panjang sisi belah ketupat
b. Lus alas prisma
c. Luas permukaan prisma

2.
T
C
B
A
D
T
T
T
T
D
C
A
B Luas Permukaan Limas








(a) (b)
Gambar 4.14
Perhatikan gambar 4.14 gambar 4.14 (a) menunjukkan limas segi empat T. ABCD dengan alas berbentuk persegi.
Adapun gambar 4.14 (b) menunjukkan jaring-jairng limas segi empat tersebut.
Seperti menentukan luas permukaan prisma, kalian dapat menentukan luas pemrukaan limas dengan mencari luas jaring-jaring limas tersebut.
Luas permukaan limas = luas persegi ABCD + luas ∆ TAB + luas ∆ TCD + luas ∆ TAD
= luas alas + jumlah luas seluruh sisi tegak jadi, secara umum rumus luas permukaan limas sebagai berikut :
Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas seluruh sisi

Contoh.
Diketahui alas sebuah limas T. ABCD berbentuk persegi dengan panjang rusuk 10 cm dan tinggi limas 12 cm. Hitunglah luas pemrkaan limas.
Penyelesaian
T
C
B
A
D
E
F Luas alas limas =
Luas perseg ABCD = 10 X 10
= 100 cm2
Panjang EF = AB
= X 10
= 5 cm
Gambar 4.15
Perhatikan bahwa ∆ TEF siku-siku. Karena ∆TEF siku-siku maka berlaku teorema pythagoras, sehingga.
TF2 = TE2 + EF2
= 122 + 52
= 144 + 25
= 169
TF = = 13 cm
Luas ∆ TAB = luas ∆ ATB = luas ∆ TCD
= luas ∆ TAB
Luas ∆ TBC = x BC X TF
= x 10 x 13 = 62 cm2
Luas pemrukaan limas
= Luas persegi ABCD + ( 4 x luas ∆ TAB )
= 100 + ( 4 x 65 ) cm2
= 360 cm2

Uji Kompetensi 4
1. Alas sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisinya12 cm. Jika tinggi segitiga pada sisi tegak 10 cm, hitunglah
a. Tinggi limas
b. Luas permukaan limas
2. Suatu limas segi empat beraturan sisi tegaknya terdiri atas empat segitiga sama kaki yang kongruen. Diketahui luas salah satu segi tiga itu 135 cm2 dan tinggi sgeitiga dari puncak limas 15 cm. Hitunglah luas permukaan limas.
3. Sebuah limas segiempat alasnya berbentuk persegi dengan sisi 12 cm dan tinggi limas 8 cm.
a. Buatlah sketsa limas itu beserta jaring-jaringnya
b. Apabila limas itu dibuat dari karton manila, berapa luas karton yang dibutuhkan ?
4. Atap sebuah rumah yang berbentuk limas mempunyai alas berukuran 24 m x 16 m dan tinggi bidnag sisi tegak 5 m. Tentukan
a. Luas selimut limas
b. Luas permukaan limas





E. VOLUME PRISMA DAN LIMAS
1. Volume Prisma
Volume prisma = luas alas x tinggi


Perlu diingat bahwa tinggi prisma ditentukan dari sisi pergi panjang yang merupakan dinding pembentuk prisma. Satuan untuk volume yang sering dipakai adalah liter ( ℓ ), mililiter (mℓ), m3, cm3, dm3, dan mm3
1 dm3 = 1.000 cm3 1 ℓ = 1 dm3
1 cm3 = 1.000 mm3 1 cm3 = 1 cc
1 ℓ = 1.000 mℓ 1 ℓ = 1.000 cc
Contoh.
a. Tentukan volume prisma yang luas alasnya 30 m2 tinggi 2m.
b. Tentukan volume prisma yang tingginya 6 cm dan alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi siku-sikunya adalah 4 cm dan 3 cm.
Penyelesaian
a. Diketahui = Luas alas = A = 30 m2
Tinggi = t = 2 cm
Volume = Luas alas x tinggi
= A x t
= 30 m2 x 2 m = 60m3
Jadi volume prisma adalah 60 m3
b. Diketahui tinggi t = 6 cm
Luas alas (segitiga siku-siku) = x 4 cm x 3 cm
= 6 cm2
Volume prisma adalah 60 m3
Jadi, volume prisma adalah 36 cm3

2. Volume Limas
Volume limas = x luas alas x tinggi



Contoh.
Diketahui sebuah limas dengan alas berbentuk persegi sisi 4 cm dan tinggi 6 cm. Hitunglah volume limas itu.
Penyelesaian
Diketahui = sisi (S) = 4 cm A = S2 = 42 cm2
= 16 cm2
tinggi (t) = 6 cm
V = AT = x 16 x 16 = 32
Jadi, volume limas adalah 32 cm3

3. Menentukan volume prisma tegak dan limas beraturan jika ukuran rusuknya berubah
Jika panjang rusuk alas suatu prisma segi empat beraturan = S, tinggi = t dan volume = V, kemudian panjang rusuk alas dan tingginya diperbesar atau diperkecil ke k kali maka
Vbaru = ks x ks x kt
= k3 x s2 x t
= k3 x luas alas x t
= k3 V

dengan
Vbaru : Volume prisma segi empat beraturan setelah di perbesar atau diperkecil
V : Volume prisma segi empat beraturan semula
k : Konstanta positif (perbesaran atau perkecilan)
Suatu limas segiempat beaturan memiliki panjang rusuk alas = s dan tinggi = t. Kemudian ukuran limas diubah menjadi panjang rusuk alas = ks dan tinggi = kt, dengan k konstanta akan diperoleh.
V = x luas alas x tinggi
V = x S2 x t
Vbaru = x (ks)2 x (kt)
= k3 x x S2 x t
= k3 x V
= k3 V
Kesimpulan
Vbaru = k3 V


dengan
Vbaru : Volume limas setelah panjang, rusuk dan tingginya diubah
V : Volume limas semula
k : Konstanta positif (perbesaran atau perkecilan)
Contoh.
a. Sebuah prisma tegak segi empat beraturan panjang rusuk alasnya 9 cm dan tinggi 6 cm. Kemudian rusuk dan tingginya diperkecil sebesar kali panjang rusuk dan tinggi semula. Berapa volume prisma itu sekarang.
b. Sebuah limas alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 6 cm dan 8 cm serta tinggi 12 cm. Kemudian panjang sisi alas maupun tinggi limas di perbesar dengan faktor perbesar 2. Hitunglah volume limas itu sekarang.
Penyelesaian
a. V = luas alas x tinggi
= 92 x 6 = 486 cm3
k =
Vbaru = k3 x V
= x 486 cm3
= 18 cm3
b. V = luas alas x tinggi
= ( x alas segitiga x tinggi segitiga x t )
= ( x 6 x 8 ) x 12
= 24 x 12 = 288 cm3
k = 2

Vbaru = k3 V
= 23 x 288
= 2.304 cm3

Uji Kompetensi 5
1. Sebuah prisma tegak memiliki volume 432 cm3. Alas prisma tersebut berbentuk segitiga siku-siku yang panjang sisi siku-sikunya 6 cm dan 8 cm. Hitunglah tinggi prisma tersebut
2. Sebuah lapangan berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 70 m dan lebar 65 m. Lapangan tersebut digenangi air setinggi 30 cm. Berapa liter air yang menggenangi lapangan itu ? ( 1 liter = 1 dm3 )
3. Sebuah limas T. ABCD alasnya berbentuk trapesium dengan AB // CD, panjang AB = 6 cm, CD = 8 cm, dan tinggi trapesium 4 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, hitunglah
a. Luas alas limas
b. Volume limas

Rangkuman
Nama prisma dan limas didasarkan pada bentuk bidang alasnya
Luas sisi prisma = (2 x luas alas ) + (keliling alas x tinggi)
Luas sisi limas = luas alas + jumlah luas seluruh sisi tegak
Volume prisma = luas alas x tinggi
Volume limas = x luas alas x tinggi

Evaluasi 4
Gambarlah prisma segi enam beraturan ABCDEF. GHIJKL
Tentukan
a. Rusuk-rusuk tegaknya
b. Semua diagonal bidang alas
c. Semua diagonal ruangnya
Limas segi empat beraturan mempunyai luas alas 256 cm2. Jika tinggi limas 6 cm, tentukan luas permukaan limas tersebut.
T. PQR adalah limas segitiga beraturan (bidang empat beraturan) dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah
a. Luas permukaan limas T. PQR
b. Volume limas T. PQR
Lukislah limas segi empat tegak T. KLMN dengan KLMN berbentuk persegi panjang dengan KL = 24 cm, KN = 18 cm, dan TK = TL = TM = TN = 17 cm, serta hitunglah volume limas.
DAFTAR PUSTAKA


Dewi Mukarini, Tri Wahyuni, 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya Kelas VIII SMP dan MTs. CV. Sahabat.

Kerami, Djati dan Cormentyna Sitanggang. 2002. Kamus Matematika. Jakarta : Balai Pustaka

Munir, Rinaldi, Yr. 2001. Matematika Diskrit. Bandung : CV. Informatika.

Negoro, ST dan B. Harakap 1999 Ensiklopedia Matematika. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Sukirno SS dan Simangunsong Wilson 2006. Matematika untuk SMP Kelas VII. Jakarta Erlangga.

Supranto J. M. A. 2000. Statistik : Teori dan Aplikasi. Jakarta Erlangga.

Wahyudin. DR dan Drs. Sudrajad M, Pd. 2003. Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Jakarta : CV. Tarity Samudra Berlian.


Blogspot Templates by Isnaini Dot Com and Hot Car Pictures. Powered by Blogger