mat 2a

NGATINI, S.Pd





MATEMATIKA
2A

UNTUK SMP KELAS VIII
SEMESTER PERTAMA

PRAKATA

DAFTAR ISI


BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR 1
A. Pengertian Koefisien, Variabel, Konstanta, Dan Suku 1
1. Variabel 1
2. Konstanta 1
3. Koefisien 1
4. Suku 1
B. Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar 3
1. Penjumlahan dan Pengurangan 3
2. Perkalian 3
3. Perpangkatan Bentuk Aljabar 6
4. Pembagian 7
C. Pemfaktoran Bentuk Aljabar 8
1. Bentuk ax + ay + az + ..... dan ax + bx – cx 8
2. Bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 9
3. Bentuk x2 – 25x + y2 dan x2 – 2xy + y2 10
4. Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1 10
5. Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠1, a ≠ 0 12
D. Operasi Pada Pecahan Bentuk Aljabar 14
1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Alajabar 14
2. Perkalian dan pembagian pecahan Aljabar 15
3. Menyederhanakan Pecahan Aljabar 17
4. Menyederhanakan Pecehanan Bersusun ( Kompleks ) 17
BAB 2 FUNGSI 20
A. Relasi 20
1. Pengertian Relasi 20
2. Cara Menyajikan Suatu Relasi 20
B. Fungsi atau Pemetaan 22
1. Pengertian Fungsi 22
2. Notasi atau Nilai Fungsi 23
3. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius,
dan Himpunan Pasangan Berurutan. 24

4. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang mungkin dari
Dua Himpunan 25
C. Menentukan Rumus Fungsi Jika Nilainya Diketahui 27
D. Menghitung Nilai Perubahan Fungsi Jika Nilai Variabel Berubah 28
E. Gerak Fungsi / Pemetaan 29
F. Korespondensi satu-satu 31
BAB 3 PERSAMAAN GARIS LURUS 34
A. Persamaan Garis (1) 34
1. Menggambar Grafik Permsamaan garis lurus 34
2. Menyatakan Persamaan Garis Jika Grafiknya Diketahui 36
B. Gradien 37
1. Gradien Suatu Garis 37
2. Gradien Garis 38
3. Mengenal Gradien Garis 39
C. Persamaan Garis (2) 41
D. Menentukan Titik Potong Dua Garis 45
1. Kedudukan Dua Grais pada Bidang 45
2. Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis 45
E. Memecahkan Masalah Yang Berkaitan 46
BAB 4 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL 49
A. Persamaan Linear Satu Variabel 49
B. Persamaan Linear Dua Variabel 50
C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 51
D. Membuat Model Matemtika 55
E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel 56
BAB 5 TEOREMA PYTHAGORAS 59
A. Teorema Pythagoras 59
B. Penggunaan Teorema Pythagoras 60
1. Kebalikan Teorema Pythagoras 60
2. Tripel Pythagoras 61
3. Perbadingan Sisi-Sisi Pada Segitiga Siku-Siku Pada
Sudut Khusus 61
C. Menyelesaikan Masalah Sehari-hari dengan Menggunakan
Teorema Pythagoras 64
DAFTAR PUSTAKA

BAB 1
FAKTORISASI SUKU ALJABAR

Tujuan Pembelajaran
- Dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, dan pangkat padabentuk aljabar
- Dapat menentukan faktor suku aljabar
- Dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor – faktornya

A. PENGERTIAN KOEFISIEN, VARIABEL, KONSTANTA, DAN SUKU
1. Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilanya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, .....z.
Contoh.
Tulislah setiap kalimat berikut dengan menggunakan variabel sebagai pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya.
a. Jumlah bilangan ganjil berturutan adalah 16
b. Suatu bilangan jika dikalikan 4 kemudian dikurangi 3 hasilnya adalah 5
Penyelesaian
a. Misalkan bilangan tersebut x dan x + 2 berarti x + x + 2 = 16
b. Misakan bilangan tersebut x, berarti 4x – 3 = 5

2. Konstanta
Suku dari suatu bentuk ajabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.
Contoh.
Tentukan konstanta pada bentuk aljabar berikut
a. 3x2 + 3xy – 7x – y – 8
b. 3 – 4y2 – y
Penyelesaian
a. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel sehingga konstanta dari 3x2 + 3xy – 7x – y – 8 adalah – 8.
b. Konstanta dari 3 – 4y2 – y adalah 3

3. Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.
Contoh.
Tentukan koefisien x pada bentuk aljabar berikut
a. 6x2y + 3x
b. 2x2 + 7x – 3
Penyelesaian
a. Koefisien x dari 6x2y + 3x adalah 3
b. Koefisien x dari 2x2 + 7x – 3 adalah 7

4. Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Contoh : x, 2 x2, -3 ac, ....
b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.
Contoh : a + b, 2a + 3c, 2a2 – 3a ...
c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.
Contoh : 2a2 – 3a + 5, 2 x2 – 3y + xy
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau polinom.

Uji Kompetensi 1
1. Tentukan koefisien-koefisien dari setiap variabel pada bentuk aljabar berikut ini !
a. 2 x2 – 3y d. 4x – 7
b. a2 – 3ab – b2 + 5 e. p3 – pq + 3pq2 – 5q3 + 8
c. 4x + 2xy + y2
2. Tentukan konstanta pada setiap bentuk aljabar berikut
a. 2x2 – 4y + 8 d. (x - 3)2
b. xy – 2x + y2 – 1 e. 2 + 3x + 5x2
c. 3x + 9
3. Manakah dari bentuk-bentuk aljabar berikut yang merupakan suku satu, suku dua, dan suku tiga ?
a. 2x + 5
b. 4x dengan x ≠ 0
c. x3 – x2
d. a2 - b2 + (3a2 + 3b + 5)
e. 1 + 3y – x + 3x2 – 6xy
4. Termasuk suku berapakah bentuk aljabar berikut ini !
a. 2 + 3x – ax2 + 5x3 + 7x4
b. pqr + 3
c. ( a + b) + ( a - b) + (3a – 2b) + (a + 2b)
d. 3a x 2b + c ( dengan c = ab)
e. 5p : q ( dengan q = dan p ≠ 0 )
5. Tulislah setiap kalimat berikut dengan menggunakan variabel x
a. Umur Ratna dan umur Intan berselisih 5 tahun dan berjumlah tiga belas tahun
b. Suatu bilangan jika dikalikan dua kemudian ditambah tiga, dan dikuadratkan menghasilkan bilangan 225.
c. Sepuluh kurangnya dari luas suatu persegi adalah 111 cm2
d. Sebuah pecahan jika penyebutnya di tambah tiga dan pembilangnya di kurangi empat sama dengan
e. Umur Endang tiga puluh tahun yang lalu adalah umurnya sekarang




http://ngatinimatsmp1.blogspot.com/

B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
1. Penjumlahan dan pengurangan
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Contoh.
1. Tentukan hasil penjumlahan 2x2 – 3x + 7 dengan x2 – 4x – 3
Penyelesaian
(2x2 – 3x + 7) + (x2 – 4x – 3)
= 2x2 – 3x + 7 + x2 – 4x – 3
= 2x2 + x2 – 3x – 4x + 7 – 3 → kelompok suku-suku sejenis
= (2 + 1)x2 + (-3 – 4) x + (7 – 3) → sifat distributif
= 3x2 – 7x + 4
2. Tentukan hasil pengurangan 5x2 – 3x + 4 dari 2 (5x2 – 3)
Penyelesaian
2 (5x2 – 3) – (5x2 – 3x + 4)

= 10x2 – 6 – 5x2 + 3x – 4
= (10- 5) x2 + 3x + (-6 – 4)
= 5x2 + 3x – 10

Uji Kompetensi 2
1. Tentukan koefisien dari x dan y2 pada bentuk aljabar berikut :
a. 2x + 3y2 – 4x + (-2y2) – 9
b. 3y2 + x + 4 – y2 – 3x + 8
c. 6x – 3y2 + Z – 2x + y2 – 4z
d. 3 (x – y2 – 3) – 5 (2x + 3y2 – 4)
2. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut
a. (2x + 8) + (4x – 3 – 7y)
b. 2p + 2q) + -2p – 5q + 8)
c. (3x2 – 2x – 2) + (x2 – 7x – 6)
d. 2 (x – 2y – xy) + 5 (2x – 4y + 7xy)
3. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut
a. (2x – 5) – (x – 4)
b. (x2 – 4x + 1) – (2x2 – 4x)
c. (y2 – 3) – (4y2 – 5y – 7)
d. (5a – 7 + ab) – (a + 2ab – 2)
4. Sederhanakan bentu-bentuk aljabar berikut
a. a2 – 2ab + 2ab – 3a2 – 7ab
b. x2 – 2x + 3 + 2 x2 – 2xy
c. 3p2 – 2pq2 + p2q – 7p3 + 2p2q
d. -3 (p3 – 2pq – q2) + 2 (p3 – 4pq – q2)

2. Perkalian
a. Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar sifat distributif a (b + c) = ab + ac. Perkalian suku dua (ax + b) dengan skala / bilangan
k dinyatakan sebagai berikut
k (ax + b) = k ax + kb
Contoh.
1. Jabarkan bentuk perkalian berikut
a. 3 (2x – y)
b. 4 (-x2 + 3x)


Penyelesaian
a. 3 (2x – y) = 3 x 2x + 3x (-y)
= 6x – 3y
b. 4 (-x2 + 3x) = 4 x (-x2) + 4 x 3x
= - 4x2 + 12x

2. Selesaikan bentuk perkalian berikut
a. 2 (-3x)
b. 12x
c. (-4x) (-3y)
d. (2x) (-2x)
Penyelesaian
a. 2 (-3x) = -6x
b. 12x = 12 x x x
= -3x
c. (-4x) (-3y) = -4 x (-3) x xy
= 12 xy
d. (2x) (-2x) = 2x (-2) x x2
= -4x

b. Perkalian antara bentuk aljabar dengan bentuk aljabar perkalian antara bentuk aljabar suku dua ( ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut :
(ax + b) (cx + d) = ax (cx + d) + b (cx + d)
= ax (cx + ax (d) + b (cx) + bd
= a cx2 + (ad + bc) x + bd
Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga.
(ax + b) ( cx2 + dx + e) = ax (cx2) + ax (dx + ax (e) + (b(cx2) + d (dx) + b(e)
= acx3 + adx2 + c + bcx2 + bdx + bc
= acx3 + (ad + bc) x2 + (ac + bd) + bc
Selanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian (ax + b) (ax + b) (ax + b), (ax + b) (ax – b), (ax – b) (ax – b), dan (ax2 + bx + c)2. Pelajari uraian berikut ini !
a. (ax + b)2 = (ax + b) (ax + b)
= ax (ax + b) + b (ax + b)
= ax (ax ) + ax (b) + b (ax) + b2
= a2 x2 + abx + abx + b2
= a2 x2 + 2 abx + b2
b. (ax + b) (ax – b) = ax (ax – b) + b (ax – b)
= ax (ax) + ax (-b) + b (ax) + b (-b)
= a2 x2 – b2
c. (ax – b)2 = (ax – b) (ax – b)
= ax (ax – b) + (-b) + (-b) (ax) + (-b) (-b)
= a2 x2 - abx - abx + b2
= a2 x2 - 2 abx + b2
Contoh.
Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut.
1. (x + 2) (x + 3)
2. (2x + 3) (x2 + 2x – 5)
Penyelesaian
1. cara (i) dengan sifat distributif
(x + 2) (x + 3) = x (x + 3) + 2 (x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
Cara (ii) dengan skema

(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x –x + 6
= x2 + 5x + 6
Cara (iii) dengan peragaan mencari luas persegi panjang dengan
p = x + 3, dan l = x + 2 seperti ditunjukkan pada gambar.
1.1
x ↕ (x + 2) (x + 3) = x x2 3x
2 ↕ 2 2x 6
x 3
x 3

Gambar 1.1
(x + 2 ) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6

2. Cara (i) dengan sifat distributif
(2x + 3) (x2 + 2x – 5)
= 2x (x2 + 2x – 5) + 3 (x2 + 2x – 5)
= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15
= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 + 7x2 – 4x – 15
Cara (ii) dengan skema

(2x + 3) (x2 + 2x – 5)

= 2x3 + 4x2 – 10x + 3x2 + 6x – 15
= 2x3 + 4x2 + 3x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 + 7x2 + 4x – 15

Uji Kompetensi 3
1. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar
a. 2 (a + 3) e. 4a2 (-a – 2b)
b. -3 (a – 3b) f. 2 xy (x – 5)
c. 5 (3x – 3y) g. –p2 (p2 – 2p)
d. -2x ( a + 3b) h. (4x – 8y)

2. Jabarkan bentuk perkalian berikut dengan menggunakan sifat distributif
a. (x -3) (2x + 5) f. (a – 3b) ( 3a + 4b)
b. (3x – y) (x + 2y) g. (-2 – P) (-3 + p)
c. (3x – 1) (x – 4) h. (5 + a) (q – a)
d. ( a + b) (2b – 4q)
e. (a – 4) (2a – 3)

3. Jabarkan bentuk perkalian beirkut dengan menggunakan skema, kemudian sederhanakan.
a. (2x – 3) (3x – 4) e. (x – y) (3x2 – xy – y2)
b. (a – 3b) (a + 5b) f.. (3k – 5) ( k2 – xy – y2)
c. (5a – 1) (2a + 4) g. ( a + ab + b) (a – b)
d. (a – 3) (a2 – 4a + 5)

4. Tentukan hasil perkalian berikut
a. ab (a + 3b – c) d. 2a ( 3ab – 2ac)
b. 2 xy 9x – 3y + 7) e. 3y ( 4xy – 4 yz)
c. 3 xy (x - 3y)

3. Perpangkatan Bentuk Aljabar
an = a x a x a x ..... x a

sebanyak n kali
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan perbedaan antara 2x2, (2x)2, -(2x)2, dan (-2x)2 sebagai berikut :
a. 2x2 = 2 x x x x
= 2x2
b. (2x)2 = (2x) x (2x)
= 4x2
c. –(2x)2 = -{(2x) x (2x)}
= -4x2
d. (-2x)2 = (-2x) x (-2x)
= 4x2
Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua, perhatikan uraian berikut :
( a + b )1 = a + b
koefisien a dan b adalah 1, 1
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1, 2, 1
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
koefisien a3, a2b, dan b2 dan b3 adalah 1, 3, 3, 1
(a + b)4 = (a + b)2 (a + b)2
= (a2 + 2ab + b2 ) (a2 + 2ab + b2 )
= a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
koefisien a4, a3b, a2b2, ab3 dan b4 adalah 1 4 6 4 1
Demikian seterusnya untuk (a + b)n adalah n bilangan asli. Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan paskal seperti berikut :


Pangkat dari a ( unsur pertama ) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke – n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke – 2 lalu bertambah satu demi satu dari terakhir bn pada suku ke – (n + 1).
Perhatikan contoh berikut.
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Contoh.
Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.
a. (2x + 3)4
b. (x + 4y)3
penyelesaian
a. (2x + 3)4
= 1(2x)4 + 4 (2x)3 (3) + 6 (2x)3 (32) + 4 (2x)1 (33) + 1(34)
= 1(16x4) + 4 (8x3) (3) + 6 (4x2) (9) + 4 (2x) (27) + 1(81)
= 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81
b. (x + 4y)3
= 1(x3) + 3 (x2) (4y)1 + 3x (4y)2 + 1 (4y)3
= 1x3 + 3x2 (4y)1 + 3x (16y2) + 1 (64y3)
= x3 + 12x2y + 48 xy2 + 64y3

Uji Kompenetsi 4
1. Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut
a. (2a)3 e. –(3pq)4
b. (2ab)2 f. a (ab2)3
c. (-5ab3)4 g. x (3ab2)4
d. –(2abc)4 h. (2a2b3)3

2. Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar berikut
a. (x + 2)3 e. (3x – 2y)4
b. (x - 5)4 f. (4a – 3b)4
c. (2x + y)3 g. (2a2 + b)3
d. (3p + q)4 h. (3a – y)5

3. Tentukan koefisien (a + b) n pada suku yang diberikan
a. Suku ke – 3 pada (3a + 4)4 d. Suku ke – 4 pada (-2x + 5y)5
b. Suku ke – 2 pada (x + 3y)3 e. Suku ke – 5 pada (3m – 3)5
c. Suku ke – 2 pada (a + 2b)4

4. Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakan
a. (2x – 1)2
b. (3 + 5x)2
c. (2x + y)2 + (x + 2y - 1)
d. (3x – 1)2 - (3x + 1)2
e. (3x + 2)2 + (2x - 1) (1 – 2x)

4. Pembagian
Perhatian uraian berikut.
2x2 y z2 = 2x x2 x y x z2
x3 y2 z = x3 x y2 x z
Pada bentuk aljabar diatas 2, x2, y dan z2 adalah faktor-faktor dari 2x2 y z2. Sedangkan x3, y2 dan z adalah faktor-faktor dari bentuk aljabar x3y2z.
Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2 y z2 dan x3 y z adalah x2, y dan z sehingga diperoleh
=
=
Contoh.
Sederhanakan berikut aljabar berikut.
1. 6xy : 3x
2. 6x3 : 2x2
3. 8a2b2 : ab
4. (a2b x ab) : a2b2
Penyelesaian
1. 6xy : 3x = = = = 2y → faktor sekutu 3x
2. 6x3 : 2x2 = = = 3x → faktor sekutu 2x2
3. 8a2b3 : ab = = = 8ab2 → faktor sekutu ab
4. (a2b x ab) : a2b2 = = = a

Uji Kompetensi 5
Sederhanakan bentuk aljabar berikut.
1. 6xy : 3x
2. 10a2b3c3 : 2abc2
3. p4q6r4 : pq3r2
4. 6x3 y7 : 2xy : 3y
5. 18a3b5 : 2xy : 3 ab2 : a2c2
6. 20 a4b5c7 : (4ab2c : 2abc)
7. 24p4q6r3 : (8p2q3 : 2pqr)
8. 3x2y x 2yz2 : 2 xy z
9. 30 x6 y10 : (5x3y2 x 2 xy2)
10. 32x5y6z7 : 2xyz x 4xy2 z3



C. PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR
48 = 1 x 48
= 24 x 3
Bilangan 1, 24, 3 dan 48 adalah faktor-faktor dari 48
Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut.
1. Bentuk ax + ay + az + ..... dan ax + bx – cx
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif.
ax + ay + az + ..... = a (x + y + z + ..... )
ax + bx – cx = x (a + b – c)


Contoh.
Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut
a. 2a + 2b
b. a3 + 3a
c. a2 + ab2
d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr
Penyelesaian
a. 2a + 2b memiliki faktor sekutu 2, sehingga
2a + 2b = 2(a + b)
b. a3 + 3a memiliki faktor sekutu a, sehingga
a3 + 3a = a (a2 + 3)
c. a2 + ab2 memiliki faktor sekutu a, sehingga
a2 + ab2 = a (a + b2)
d. pq2r3 + 2p2qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr sehingga
pq2r3 + 2p2qr + = pqr (qr2 + 2p + 3)

2. Bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2
x2 – y2 = x2 + (xy – xy) y2
= (x2 + xy) – (xy + y2)
= x (x + y) – y (x + y)
= (x – y) (x + y)
Bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 dapat dinyatakan x2 – y2 = (x – y) (x + y)
Contoh.
Faktor bentuk aljabar berikut
a. x2 – 25
b. a2 – 1662
c. 9p2 – 16
d. 9p2 – 25 q2
Penyelesaian
a. x2 – 25 = x2 – 52
= (x – 5) (x + 5)
b. a2 – 1662 = a2 – (46)2
= (a – 4b) (a + 46)
c. 9p2 – 16 = (3p)2 – 42
= (3p – 4) (3p + 4)
d. 9p2 – 25 q2 = (3p)2 – (5q)2
= (3p – 5q) (3p + 5q)


Uji Kompetensi 6
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 3a – 3b
2. 2a – 6b
3. x3 + xy
4. ap2 + 2ap
5. 4a2b – 6ab3
6. 3a2 - 12
7. xy + yz
8. 8xy + 2t xyz
9. a4 – 3a2 + a
10. 15x – 18xy + 9xz 11. a2 – 9
12. 9x2 – 16
13. 1 – a2
14. 49 – x2
15. 9p2 – 16
16. 64x2 – 9
17. 8 a2 – 2b2
18. 25x2 – 16y2
19. 36a2 – 81b2
20. 81 x2 – 100y2


3. Bentuk x2 – 25x + y2 dan x2 – 2xy + y2
a. x2 – 25x + y2 = x2 + xy + xy + y2
= (x2 + xy) (xy + y2)
= x (x + y) + y (x + y)
= (x + y) (x + y)
= (x + y)2
b. x2 – 2xy + y2 = x2- xy - xy + y2
= (x2 – xy) (xy – y2)
= x (x – y) (x – y)
= (x – y)2
Berdasarkan uraian diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut :
x2 + 2 xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) = (x – y)2
Contoh.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. a2 + 2ab + b2
b. a2 + 4a + 4
Penyelesaian
a. a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2
= (a2 + ab) + (ab + b2)
= a (a + b) + b (a + b)
= (a + b) (a + b)
= (a + b)2
b. a2 + 4a + 4 = a2 – 2a – 2a + 4
= (a2 – 2a) – (2a – 4)
= a (a – 2) – 2 (a – 2)
= (a – 2) (a – 2)
= (a – 2)2

4. Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6 ..... (dihasilkan suku tiga)
Sebaiknya, bentuk suku tiga x2 + 5x + 6 apabila difaktorkan menjadi.
x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

5 = 2 + 3 6 = 2 x 3 2 x 3 = 6
2 + 3 = 5

Perhatikan bahwa bentuk aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentuk x2 + bx + c.
Berdasarkan pengertian diatas, ternyata untuk memfaktorkan bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilangan real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan b misalkan x2 + bx + c sama dengan (x + m) (x + n)
x2 + bx + c = (x + m) (x + n)
= x2 + mx + nx + mn
= x2 + (m + n) x + mn

x2 + bx + c = x2 + (m + n) x + mn

x2 + bx + c = x2 + (m + n) x + mn dengan m x n = c dan
m + n = b


Contoh.
1. Faktorkanlah bentuk aljabar berikut.
a. x2 + 4x + 3
b. x2 – 13x + 12
Penyelesaian
Langkah-langah menfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c dengan c positif sebagai berikut.
- Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya
- Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b
a. x2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 1)
3 Jumlah
1 3 4


b. x2 – 13x + 12 = (x - 1) (x -12)
12 Jumlah
1
2
3 12
6
4 13
8
7

2. Faktorkanlah bentuk aljabar berikut
a. x2 + 4x – 13
b. x2 – 15x – 16
Penyelesaian
Langkah-langah menfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c dengan c negatif
- Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya
- Tentukan pasangan bilangan yang selisih b
- Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya
a. x2 + 4x – 12 = (x – 2) (x + 6)
12 Selisih
1
2
3 12
6
4 11
4
1

b. x2 – 15x – 16 = (x + 1) (x -16)
12 Selisih
1
2
4 16
8
4 15
6
0

Ujian Kompetensi 7
Faktor bentuk-bentuk berikut.
1. a2 – 6a + 8
2. a2 + 9a + 20
3. a2 + 7a + 12
4. a2 – 5a + 4
5. a2 + 8x + 12
6. a2 + 8x + 16
7. a2 - 8x + 12
8. a2 + 6p + 9
9. a2 – 8a + 16
10. a2 – 6p + 9 11. p2 + 2pq + q2
12. a2 – 4a + 4
13. p2 + 2p – 15
14. p2 + 2p + 1
15. p2 + 5p – 24
16. b2 – 3b – 18
17. b2 – 2b – 8
18. a2 + 8p – 33
19. a2 +2a – 8
20. x2 + 3y – 40
5. Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠1, a ≠ 0
12 x 6 = 72
9 x 8 = 72
9 + 8 = 17
(3x + 2) (4x + 3 = 12x2 + 9x + 8x + 6
= 12x2 + 17x + 6

Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 x 8 =72 12 x 6 = 72.
Berdasarkan uraian diatas dapat di katakan bahwa bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0 dapat di faktorkan dengan cara berikut.
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c
dengan p x q = a x c
p + q = b
Selain dengan menggunakan sifat distributif, terdapat rumus yang dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + c dengan a ≠ 1. Perhatikan uraian berikut.
Misalkan ax2 + bx + c = (ax + m) (ax + n)
ax2 + bx + c =
 a (a x2 + bx + c = (a2x2 + amx + anx + mn

 a2x2 + abx + ac = a2x2 + a (m + n) x + mn

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa m x n = a x c dan m + n = b
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa ada dua cara untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.
a. Menggunakan sifat distributif
ax2 + bx + c = ax2 + px + qx + c dengan
p x q = a x c dan
p + q = b
b. Menggunakan rumus
ax2 + bx + c = (ax + m) (ax + n) dengan
m x n = a x c dan
m + n = b

Contoh.
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 3x2 + 14x + 15
b. 8x2 + 2x – 3
Penyelesaian
a. Memfaktorkan 3x2 + 14x + 15
Langkah-langkah penfaktoran ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 untuk c positif sebagai berikut.
- Jabarkan a x c jmenjadi perkalian faktor-faktornya
- Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b
3x2 + 14x + 15, a = 3, b = 14, c = 15




Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
ac = 45 Jumlah
1
3
5 16
8
4 46
18
14


Dua bilangan yang hasil kalinga ac = 3 x 15 = 45 dan jumlahnya 14 adalah 5 dan 9. Sehingga 3x2 + 14x + 15 = 3x2 + 5x + 9 x + 15
= x (3x + 5) + 3 (3x + 5)
= (x + 3) (3x + 5)
Cara 2
Dengan menggunakan rumus
3x2 + 14x + 15 = (3x + 5) (3x + 9)
= (3x + 9) (3x + 5)
= x 3 (x + 3) (3x + 5)
= (x + 3) (3x + 5)
Jadi 3x2 + 14x + 15 = (x + 3) (3x + 5)

b. Memfaktorkan 8x2 + 2x – 3
Langkah-langkah penfaktoran ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 untuk c negatif
- Jabarkan a x c jmenjadi perkalian faktor-faktornya
- Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b
- Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanya dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya

Cara 1
Dengan menggunakan sifat distributif
ac = 24 Selisih
1
2
3
4 24
12
8
6 23
10
5
2


Dua bilangan yang hasil kalinya ac = 8 x 3 = 24 dan selisihnya 2 adalah 4 dan 6. Sehingga
8x2 + 2x – 3
= 8x - 4x + 6 x -3
= 8x (2x – 1) + 3 (2x – 1)
= (4x + 3) (2x – 1)









Cara 2
Dengan menggunakan rumus
8x2 + 2x – 3 = (8x - 4) (8x + 6)
= x (8x - 4) (8x + 6)
= (8x - 4) x (8x + 6)
= x 4 (2x - 1) x x 2 (4x + 3)
= (8x - 1) (4x + 3)

Jadi 8x2 + 2x – 3 = (2x - 1) (4x + 3)

Uji Kompetensi 8
Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 2a2 + 7a + 3
2. 3a2 + 18a + 5
3. 2a2 + 5a + 3
4. 3a2 + 8a + 4
5. 5a2 + 13a + 6
6. 3b2 – 8b + 4
7. 8b2 – 14b + 5
8. 12b2 – 8m + 1
9. 10x2 – 43x + 12
10. 12a2 – 34a + 10 11. 3x2 + 7x – 6
12. 8x2 + 10x – 3
13. 6x2 – 5y – 6
14. 5b2 + 23b – 10
15. 2x2 + 5x – 3
16. 4a2 – 7ab – 2b2
17. 6a2 + 5ab – 6b2
18. 8x2 + 2xy – 15y2
19. 1 + 3a – 18m2
20. 15 – 7a – 202

D. OPERASI PADA PECAHAN BENTUK ALJABAR
1. Penjumlah dan pengurangan pecahan Aljabar
+ = atau - =
Contoh.
Selisihkan operasi penjumlahan atau pengurangan berikut.
1. 2.
Penyelesaian
1. =
=
=

2. =
=
=
2. Perkalian dan pembagian pecahan Aljabar
x = =
Contoh.
Selesaikan operasi perkalian berikut.
1. x
2. x
Penyelesaian
1. x =
=
2. x =
=
: = x = =
Contoh.
Selesaikan pembagian pecahan Aljabar berikut.
1. :
2. :
Penyelesaian

1. : = x
=
=

2. : = x
=
= (x - y) x
= x2 – xy




Ujian Kompetensi 9
1. Sederhanakanlah
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2. Sederhanakanlah
a.
b.
c.
d.
e.
3. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut
a.
b.
c.
d.
e.






3. Menyederhanakan Pecahan Aljabar
Contoh.
Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut.
1. 2.
Penyelesaian
1. =
=
2. =
=

4. Menyederhanakan Pecehanan Bersusun ( Kompleks )
Contoh
Sederhanakan pecahan-pecahan berikut
1. 2.
Penyelesaian
1. =
=
=

2. =
=
=


Uji Kompetensi 10
1. Sederhanakan pecahan-pecahan berikut.
a.
b.
c.
d.
e.

2. Sederhanakan pecahan bersusun berikut.
a. d.
b. e.
c.

Rangkuman
1. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
2. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis.
3. Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut
4. Untuk menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut tersebut.

Evaluasi
1. Sederhanakanlah
a. (3a2 – ab2) + (5a2 + 2ab2 - 1 )
b. (2a2b– ab2 + 3) - (a2b+ 2ab2 - 7)
c. (3a2 – ab2) + (5a2 + 2ab2-1)
d. -2 (x + 3) – 4 [2x – 2 (x + 5) – 8]
e. 3 [6x – (x + y)] + 3 [-2 (2x + 3y) + 4 (x – y)]
2. Jabarkan dan sederhanakanlah
a. (3a - 2) (4a + 5) d. (8x – 3y) (8x + 3y)
b. (p + 8q) (2p – 3q) e. (a + 5) (a2 + 6a – 4)
c. (9x – 5y)2

3. Faktorkanlah
a. x2 – 6x – 16
b. 8a2 – 2ab – 15b2
c. a2 – 16b4
d. 9x2 – 8x – 1
e. 49a2 – 28x + 4

4. Sederhanakanlah
a.
b.
c.
d.
e.

5. Diketahui suatu segitiga dengan alas (a + 2) cm dan luasnya (a2 – 4)cm2.
a. Tentukan tinggi segitiga dalam variabel a
b. Jika a = 3. Tentukan ukuran segitiga tersebut



BAB 2
FUNGSI


Tujuan Pembelajaran
- Dapat menyelesaikan dengan kata-kata dan mengatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi
- Dapat menyatakan suatu fungsi dengan notasi
- Dapat menghitung nilai fungsi
- Dapat menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui
- Dapat menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi
- Dapat menggambar grafik fungsi pada koordinat cartesius

A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota A dengan anggota-anggota himpunan B

Uji Kompetensi
1. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 12}
a. Jika dari A ke B dihubungkan relasi “ setengah dari”, tentukan himpunan anggota A yang mempunyai lawan di B.
b. Jika dari B ke A dihubungkan relasi “kuadrat dari” tentukan himpunan anggota B yang mempunyai lawan di A
2. Diketahui A = {5, 6, 7, 8} dan B = { 25, 30, 35, 36, 49, 64}
a. Buatlah dua relasi yang mungkin dari A ke B
b. Buatlah dua relasi yang mungkin dari B ke A
3. Diketahui P = {-2, -, 0, 1, 2} dan Q = { 0, 1, 2, 3}
a. Buatlah relasi P ke Q
b. Buatlah relasi Q ke P

2. Cara Menyajikan suatu Relasi
a. Dengan diagram panah
Suatu fungsi dapat dinyatakan dengan diagram panah, jika memenuhi persyaratan berikut.
(i) Ada domain ( darah asal ) dan kodomain ( daerah kawan )
(ii) Ada anak panah dan nama fungsi
(iii) Semua anggota domain habis dipetakan di domain
(iv) Peta dari setiap anggota domain tidak boleh bercabang
Beberapa bentuk fungsi dalam diagram panah dapat dilihat pada gambar berikut ini.
A B A B A B
f f f





Gambar 2.1
Keterangan : A disebut domain ( daerah asal )
B disebut kodomain ( daerah kawan )

b. Dengan diagram cartesius
Sebuah grafik f : A → B disebut grafik fungsi, jika memenuhi persyaratan berikut ini.
(i) Semua anggota A harus terpetakan
(ii) Semua anggota A harus hanya mempunyai satu peta di B
Contoh.
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan fungsi f = A → A ditentukan oleh 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4, 5 → 1.
Tulislah grafik fungsi f dalam
a. Diagram panah
b. Koordinat cartesius
Penyelesaian
a. Diagram panah f = A → A
A A
f






Gambar 2.2

b. Koordinat cartesius f = A → A


Gambar 2.3

c. Dengan himpunan pasangan berurutan
Contoh.
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = {1, 2, 3, ....., 12} dan relasi dari A ke B adalah relasi “Setengah dari “ nyatakan relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan berurutan
Penyelesaian
Misalkan relasi “Setengah dari” dari himpunan A ke himpunan B adalah R maka R = { (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), (6,12)}

Uji Kompetensi 2
1. Diketahui relasi-relasi berikut ini.
a. { (-2,3), (3,-2), (1,1), (1,2) } e. { (1,2), (1,3), (2,4) }
b. { (-1,1), (1,1), (2,1), (-1,2) } f. { (2,3), (2,4), (2,5) }
c. { (x,y), (1,y), (1,2), (y,1) }
d. { (1,2), (2,3), (3,4) }
Gambarlah diagram panah dan diagram cartesius dari pasangan berurutan itu !
2. Diberikan himpunan A = { 0, 1, 2, 3, 4 }
a. Dengan menyebutkan anggota-anggotanya, tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi “sama dengan” pada himpunan A (relasi dari himpunan A ke himpunan A)
b. Gambarlah diagram cartesius relasi-relasi itu !

3. A B






Gambar 2.4
a. Salin dan lengkapilah diagram panah pada gambar panah pada gambar 2.4 yang menyatakan relasi “faktor dari” himpunan A ke himpunan B.
b. Nyatakan relasi tersebut sebagai himpunan pasangan berurutan !
c. Gambarlan diagram cartesies relasi itu !

4. Diketahui P = { 2, 3, 5, 7, 12} dan Q = {1, 6, 9, 12, 15, 19, 21, 28, 36} Jika R adalah “x faktor dari y” dengan x €P, y € Q, maka
a. Gambarlah diagram panah relasi itu !
b. Gambarlah diagram cartesius relasi itu !
c. Tentukanlah pasangan berurutan relasi R
d. Tentukan domain, range dan kodomain dari relasi itu !

5. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5}. R adalah suatu relasi diantara A dan B yang ditentukan oleh rumus 2a < domain =" A" kodomain =" B" range =" {" x =" 2" x =" -3" x =" 2" 1 =" 2" 1 =" 2" 1 =" 8" 1 =" 3" x =" -3" 1 =" 18" 1 =" 28" a =" {" b =" {" p =" {" b ="{" a =" {" x =" -5," p =" {" q =" {" 2 =" -1" 2 =" 1" 2 =" 3" a =" {a}" b =" {1}" a =" {a,b}" b =" {1}" a =" {a}" b =" {1,2}" a =" {" b =" [1}" a =" {a}" b =" {1,2,3}" a =" {" b =" [1,2}" p =" {" b =" {" p =" {" q =" {" q =" qa" 52 =" 25" p =" pq" 25 =" 32" a =" {" b =" {" a =" {" b =" {" x="2," 64="100" d2="f2" q2="i2" i2="g2" f2="d2" b2="a2" a2="b2" 5="-9" y2="m2x" 5y="2x" y="x" 3x="-4" 3y="6" ey="f" by="c" 3="a(-2)" semula="a" 5b="5" 7b="4" 3b="6" 10b="10" misalnya="a" 25="2x" 4y="10" 2y="5x" substitusikan="5" 10y="12" 12="0" ay="5" p="t" y1="m1x" m2="-2" m1="m2." 6y="0" p2="q" gradiennya="m2" 4m="3" qy="r" ab="6" 24="4" 18="-2p2" mab="=" mcd="mAB" 15y="-10" 7x="-140.000" l="S2" ac2="AB2" bc2="62" bc="8cm."> jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut tumpul.
Contoh.
Tentukan jenis segitiga dengan panjang sisi-sisi sebagai berikut.
a. 3 cm, 5 cm, 4 cm
b. 4 cm, 5 cm, 6 cm
c. 1 cm, 2 cm, 3 cm
Penyelesaian
Misalkan a = panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi yang lain, maka diperoleh.
a. a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm
a2 = S2 = 25
b2 + c2 = 32 + 42 = 6 + 16 = 25
Karena S2 = 32 + 42, maka segitiga ini termasuk segitiga siku-siku.
b. a = 6 cm, b = 4 cm, c = 5 cm
a2 = b2 = 36
b2 + c2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41
Karena b2  42 + 52, maka segitiga ini termasuk segitiga lancip.
c. a = 3 cm, b = 1 cm, c = 2 cm
a2 = 32 = 9
b2 + c2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5
Karena 32 > 12 + 22, maka segitiga ini termasuk segitiga tumpul.

2. Tripel Pythagoras
Tripel pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya.

Uji Kompetensi 3
1. Selidiki jenis segitiga dengan panjang sisi-sisi berikut.
a. 5, 8, 10 e. 8, 17, 15
b. 7, 8, 9 f. 7, 25, 24
c. 9, 12, 15 g. 12, 20, 16
d. 13, 5, 12 h. 45, 28, 53
2. Diantara kelompok tiga bilangan berikut ini, manakah yang membentuk tripek pythagores ?
a. 3, 5, 4 e. 8, 17, 15
b. 5, 6, 4 f. 12, 15, 19
c. 4, 7, 8 g. 11, 60, 62
d. 12, 16, 20 h. 33, 56, 65
3. Pada segitiga ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm
a. Tunjukkan bahwa ABC siku-siku
b. Dititik manakah  ABC siku-siku ?

3. Perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut khusus
a. Sudut 30o dan 60o




Gambar 5.5
Segitiga ABC disamping adalah segitiga sama sisi dengan AB = BC = AC = 2x cm dan A = B = C = 60o karena CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus garis bagi C, sehingga ACD = BCD = 30o
Diketahui ADC = BDC = 30o
Titik D adalah titik tengah AB, dimana AB = 2x cm, sehingga panjang BD = x cm.
Perhatikan ΔCBD
Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh
CD2 = BC2 - BD2
CD =
=
=
=
=
Dengan demikian, diperoleh perbandingan
BD: CD : BC = x : : 2x
= 1 : : 2
Contoh.
Diketahui persegi panjang ABCD dengan panang diagonal AC = 10 cm dan  CAB = 30o. Tentukan
(i) panjang AB,
(ii) panjang BC,
(iii) luas ABC
(iv) keliling ABCD





Gambar 5.6
Penyelesaian
Perbandingan sisi-sisi pada Δ ABC adalah BC : AB : AC = 1 : : 2, sehingga
(i) BC : AB : AC = 1 = : 2
AB : AC = : 2
AB : 10 = : 2
2 AB =
AB = = cm
(ii) BC : AC = 1 : 2
BC : 10 = 1 : 2
BC = = 5 cm
(iii) Luas ABCD = AB x BC
= x 5 = cm2

(iv) Keliling ABCD = 2 (AB + BC)
= 2 ( + 5)
= 10 ( + 1) cm
b. Sudut 45o
Perhatikan gambar 5.7
Segitiga ABC pada gambar 5.7 adalah segitiga siku-siku sama kaki, sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = x cm dan A = C = 45o. Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh
AC2 = AB2 + BC2
AC =
=
=
=
Dengan demikian diperoleh perbandingan
AB : BC : AC = x : x :
= 1 : 1 :

Uji Kompetensi 4
a. Diketahui Δ ABC siku-siku di B dengan panjang AB = BC = 25 cm. Hitunglah keliling dan luas segitiga ABC
b. Pada persegi panjang PQRS, diketahui PQ = 30 cm RPQ = 30o. Hitunglah
a. Panjang PQ dan QS
b. Keliling dan luas persegi panjang PQRS
c. Diketahui belah ketupat ABCD dengan O titik potong diagonal AC dan BD. Jika OAD = 30o dan AO = cm maka.
a. Sketsalah belah ketupat ABCD
b. Hitunglah panjang BO dan AB
c. Hitung luas dan keliling belah ketupat ABCD
d. Penggunaan teorema pythagoras pada bangun data dan bangun ruang.
Contoh.
Diketahui kubus ABCD, EFGH dengan panjang AB = 15 cm. Hitunglah panjang diagonal ruang .
Penyelesaian
Perhatikan Δ ACG
Karena Δ ACG siku-siku dititik C, maka panjang diagonal ruang dapat dicari dengan rumus berikut.
= +
Panjang diagonal sisi adalah
= +
= 152 + 152
= 225 + 225
= 450
=
= cm
Jadi, panjang diagonal adalah
= +
= ( )2 + 152
= 450 + 225
= 675
= cm

Uji Kompetensi 5
a.




Pada trapesium PQRS diatas, hitunglah
(i) Panjang dan
(ii) Luas trapesium
b.






Pada gambar diatas balok ABCD, EFGH dengan sisi atas ABCD dan sisi atas EFGH. Panjang rusuk = 4cm. Hitunglah
(i) Luas dan keliling bidang ACGE
(ii) Panjang diagonal ruang
c. Diketahui persegi PQRS pada bidang koordinat dengan koordinat P(2,1) dan R(7,-4)
(i) Sketsalah persegi ABCD tersebut pada bidang koordinat
(ii) Tentukan koordinat titik B dan D
(iii) Tentukan panjang dan

C. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI-HARI DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA PYTHAGORAS
Contoh.
Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada dibawah layang-layang adalah 60 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang.
Penyelesaian
Tinggi layang-layang = QR
QR =
=
=
=
= 80m
Jadi, tinggi layang-layang adalah 80 m


Uji Kompetensi 5
1. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 50 km, kemudian ke arah selatan sejauh 200 km. Hitung jarak kapal sekarang dari tempat semula.
2. Sebuah tangga yang panjangnya 12 m bersandar pada tembok yang tingginya 8 m. Jika kaki tangga 6 m dari tembok maka hitunglah panjang bagian tangga yang tersisa diatas tembok.
3. Seseorang menyeberangi sungai yang lebarnya 30 meter. Jika ia terbawa arus sejauh 16 meter, berapakah jarak yang ia tempuh pada saat menyebarangi sungai ?
4. Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang masing-masing adalah 22m dan 12, hitunglah panjang kawat penghubung antara ujung tiang tersebut.
5. Sebidang sawah berbentuk persegi panjang berukuran (40 x 9)m. Sepanjang keliling dan kedua diagonalnya akan dibuat pagar dengan biaya Rp.35.000,00 per meter. Hitunglah.
a. Panjang pagar
b. Biaya pembuatan pagar

Rangkuman
1. Luas persegi yang panjang sisinya S satuan panjang adalah S2 satuan luas
2. Luas segitiga siku-siku dengan panjang alas a dan tinggi t adalah L = x a x t
3. Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.
4. Jika jumlah kuadrat dua sisinya sama dengan kuadrat panjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.
5. Tripel pythagoras adalah kelompok tiga bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya.

Evaluasi 5
1. Pada gambar segitiga berikut hitunglah nilai a





(a) (b) (c) (d)

2. Nyatakan segitiga-segitiga berikut, lancip, siku-siku atau tumpul, tentukan nama titik sudut yang siku-siku, lancip atau tumpul.
a. Δ PQR, PQ = 16 cm, QR = 30 cm dan PR = 34 cm
b. Δ ABC, AB = 12 cm, BC = 10 cm dan AC = 8 cm
c. Δ DEF, DE = 15 cm, EF = 12 cm dan DF = 8 cm
d. Δ PQR dengan koordinat titik P (1,1), Q (5,3) dan Q (4,8). (petunjuk : terlebih dahulu hitunglah panjang PQ, PR dan QR)

3. Keliling bilah ketupat PQRS di samping adalah 6 cm dan panjang PQ = 18cm. Hitunglah panjang PQ !


4. Pada limas DABC disamping diketahui panjang BC = 20 cm, AB = 16 cm, dan DC = 28 cm
a. Hitung panjang AC dan AD
b. Tunjukkan bahwa Δ DAB siku-siku di A. Kemudian, hitunglah panjang BD

5. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan P ke arah selatan menuju pelabuhan Q sejauh 250 km. Kemudian lanjutkan ke arah timur menuju pelabuhan R sejauh 300 km.
a. Buatlah sketsa dari keterangan diatas
b. Berpakalah jarak dari pelabuhan P ke pelabuhan R



DAFTAR PUSTAKA



Dewi Nukarini dan Triwahyuni 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya Kelas VIII SMP dan MTs. CV. Sahabat.

Hartoyo. 1990. Matematika Rekreasi. Klaten : PT. Intan Pariwara.

Kurikulum. 2004. Standar Kompetensi Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama Dan Madrasah Tsanawiyah. Jakarta : Dediknas.

Malik A. dkk. 1995. Matematika SLTP Kelas 1,2 dan 3. CV. Aneka Ilmu.

Negoro, ST dan Harakap. B. 1998. Ensklopedia Matematika. Jakarta Ghalia Indonesia.

Wahyudin DR dan Drs. Sudrajat, M.Pd. 2003. Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia. Jakarta : CV. Samudra Berlian.