materi matematika

NGATINI, S.Pd


MATEMATIKA
3 B

UNTUK KELAS IX SMP


PRAKATA


Buku matematika 3B ini membantu kalian belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yang mudah dipahami. Dengan harapan siswa akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.
Agar lebih mudah mempelajarinya buku ini disusun dari yang sederhana menuju yang lebih komplek. Beberapa hal dimulai dari yang konkrit menuju yang abstrak. Setelah mempelajari buku ini diharapkan agar siswa dapat belajar matematika secara tuntas dan total. Sehingga siswa memiliki penguasaan teori yang tinggi dan mantap untuk menjadi tumpuan dan dapat diandalkan memecahkan berbagai masalah.
Akhirnya semoga buku ini bermanfaat dan jangan segan untuk bertanya jika memasuki kesulitan, selamat belajar, semoga sukses.


Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ....................................................................................................... i
PRAKATA .................................................................................................................... ii
DAFTAR ISI ................................................................................................................. iii
BAB I PERANGKAT TAK SEBENARNYA....................................................... 1
A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulan ....................................... 1
1. Bilangan Rasional ........................................................................... 1
2. Pengertian bilangan rasional berpangkat bilangan
bulat positif..................................................................................... 1
3. Sifat bilangan rasional berpangkat bilangan
bulat positif .................................................................................... 2
4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat
Negatif dan Nol ............................................................................. 4
B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan ...................................................... 6
1. Bilangan Real.................................................................................. 6
2. Pengertian Bentuk Akar ................................................................. 7
3. Menyederhanakan Bentuk Akar...................................................... 7
4. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar ................................................ 8
5. Merasionalkan penyebut suatu pecahan .......................................... 9
6. Pangkat Pecahan ......................................................................... 11
BAB II BARISAN DAN DERET BILANGAN................................................... 18
A. Pola Bilangan ..................................................................................... 18
1. Pengertian Pola Bilangan .............................................................. 18
2. Pola bilangan pada segitiga pascal ................................................ 20
3. Menemukan Pola dari Perhitungan Bilangan................................... 21
B. Barisan dan Deret Bilangan ................................................................ 22
1. Barisan Bilangan .......................................................................... 22
2. Deret Bilangan ............................................................................. 23
3. Barisan Aritmatika ....................................................................... 23
4. Deret Aritmatika .......................................................................... 25
5. Barisan Geometri ......................................................................... 26
6. Deret Geometri ............................................................................ 27
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 32
BAB I
PERANGKAT TAK SEBENARNYA

Pada bab ini kalian akan diajak untuk memahami sifat0sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana dengan cara mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar.
A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulan
1. Bilangan Rasional
Definisi 1.1
Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0.
Bilangan merupakan bilangan rasional karena memenuhi bentuk seperti pada definisi 1.1
2. Pengertian bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif
Definisi 1.2
Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif perkalian berulang n faktor dari a ialah ditulis
Pada definisi 1.2, disebut bilangan berpangkat dengan a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat (eksponen).

Contoh :
Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitunglah.
a. 73 c. -(34)
b. (-3)4 d.
Penyelesaian
a. 73 = 7 x 7 x 7 = 49 x 7 = 343
b. (-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 9 x 9 = 81
c. -(34) = - ( 3 x 3 x 3 x 3 ) = - (9 x 9) = - 81
d.
3. Sifat bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif
a. Sifat perkalian bilangan berpangkat
Sifat 1.1
Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka
am x an = am x n

Contoh :
a. 32 + 33 + 32+3 = 35
b. (-2)4 x (-2)5 = (-2)4+5 = (-2)9
c. 72 x 34 tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokoknya tidak sama.
d. 3y2 x y3 = 3y2+3 = 3y5, dengan y = bilangan rasional
b. Sifat pembagian bilangan berpangkat
Sifat 1.2
Jika a bilangan rasional , a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat positf maka

Contoh
a)
b)
c)
c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Sifat 1.3
Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positf maka



Contoh :
a)
b)
c)
d. Sifat Perpangkatan dari bentuk perkalian
Sifat 1.4
Jika n bilangan bulat positf dan a, b bilangan rasional maka

Contoh :
a)
b)
c)
e. Serta perpangkatan dari bentuk pembagian
Sifat 1.5
Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat positif maka

Contoh :
1)
2)
3)





f. Sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat
Sifat 1.6
Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka

Sifat 1.7
Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka
Pam – qan = an (Pam-n – q)

Contoh :
1)

2)

3)


4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Negatif dan Nol
a. Pengertian pangkat bilangan bulat negatif
Untuk bilangan berpangkat n, dengan n adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut :
, a ≠ 0
Definisi 1.3
Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat positif maka
Contoh :
Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pengkat positif
a) 5-2
b) 2-3
Penyelesaian
a) 5-2 =
b) 2-3 =
b. Pengertian pangkat nol
Definisi 1.4
an = 1, dengan a bilangan rasional a ≠ 0
Contoh :
Hitunglah bentuk perpangkatan bilangan rasional berikut :
1)
2)
3)
Penyelesaian
1)
2)
3)

Uji Kompetensi 1
1. Hitunglah
a. (6 x 3)7
b. (-a5 b5)3
c. (a3)2 : (-54 a3)5
d.
2. Hitunglah
a.
b.
3. Hitunglah dan nyatakan
hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana
4. Sederhanakanlah
a. 2 x 85 + 5 x 86
b. 2 x 75 + 3 x 74
c. 3 x (-5)6 – 2 x (-5)5
d. 5 x 113 – 7 x 114
5. Sebuah penampungan air berbentuk kubus dengan panjang rusuk 1,5 x 103 cm. Berapa liter volume penampungnya air tersebut ?

B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
1. Bilangan Real
A
B
C
1
1





Gambar 1.1
Perhatikan gambar 1.1
Gambar tersebut memperlihatkan sebuah segitiga siku-siku istimewa dengan besar sudut lancip 450 dan panjang sisi siku-sikunya 1 satuan panjang.
Panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan dalil pythagoras seperti berikut :
(AC)2 = (AB)2 + BC2
= 12 + 12
= 2
AC =
Jadi panjang sisi AC adalah satuan panjang.
Amati bilangan tersebut dengan menggunakan kalkulator, akan diperoleh nilai = 1,414213562 ...
Apakah merupakan bilanganrasional ? coba kalian cari nilai-nilai a dan b agar = , dalam hal ini a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Ternyata, tidak ada nilai a dan b yang memenuhi = . Sehingga bukan bilangan rasional. Jadi merupakan bilangan irasional gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional merupakan himpunan bilangan real.
2. Pengertian Bentuk Akar
Definisi 1.5

Contoh :
1) Misalkan, a = 2 ( a > 0)
Nilai =
2) Misalkan, a = -2 ( a < 0 )
Nilai =
Sekarang adakah akar pangkat yang tidak memenuhi ?
Akar pangkat bilangan yang tidak memenuhi definisi 1.5 dinamakan bentuk akar seperti
Bentuk akar tersebut merupakan bilangan irasional.
3. Menyederhanakan Bentuk Akar
Sebuah bantuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan, dengan salah satu akar pangkat bilangan memenuhi definisi 1.5. Amati dan pelajari contoh berikut :
Berdasarkan perhatian tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut ?
Sifat 1.8
Dengan a dan b adalah bilangan rasional positif


Contoh :
1)
2)
4. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar
a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Sifat 1.9
Dengan a, b, c adalah bilangan rasional dan c ≥ 0

Contoh :
1)

2) (tidak dapat dijumlahkan karena tidak memenuhi aturan penjumlahan bentuk akar
b. Perkalian Bentuk Akar
Sifat 1.10
Dengan a, b, c, d adalah bilangan rasional, b ≥ 0, dan d ≥ 0

Contoh :
Sederhanakan bentuk – bentuk berikut
a)
b)
Penyelesaian
a)



b)


c. Pembagian Bentuk Akar
Sifat 1.11
Dengan a dan b adalah bilangan rasional, a ≥ 0, dan b > 0

Contoh :
a)
b)
5. Merasionalkan penyebut suatu pecahan
Berikut ini perkalian bentuk akar dengan pasangan sekawannya yang menghasilkan bilangan rasional.
a.
b.
c.
Dengan b, a2 – b, dan b – d adalah bilangan rasional.
Sampai saat ini kalian telah mempelajari perkalian penyebut pecahan bentuk akar dengan pasangan sekawannya sehingga diperoleh penyebut bilangan rasional. Sekarang kalian akan mempelajari bagaimana penerapannya dalam merasionalkan penyebut dari pecahan bentuk akar, secara umum, pecahan bentuk akar yang dapat dirasionalkan penyebutnya adalah :
Pecahan tersebut masing-masing dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawan dari penyebutnya, yaitu sebagai berikut :
a.

b.


c.

d.

e.

Contoh :
Sederhanakan penyebut pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya
a.
b.
Penyelesaian
a.
b.




6. Pangkat Pecahan
9n = 3, ini berarti 9 dipangkatkan n sama dengan 3 selain itu, 9n = 32 dapat juga ditulis dalam bentuk (32)n = 3 x 32n = 31.
Sama artinya dengan = 3
Pada bentuk , bilangan adalah eksponen pecahan.
Bilangan dinamakan bilangan berpangkat pecahan. Sebelumnya kalian telah mengetahui bahwa dan = 3 jadi = 3
Secara umum, jika an = p dengan a, p adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat, dengan n > 0 maka a =
Definisi (dibaca “ adalah akar pangkat n dari p”). Pada definisi tersebut berlaku ketentuan berikut :
(i) p merupakan bilangan real positif dari nol untuk n bilangan genap.
(ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil.
Contoh :
Jika 125k = 5 maka
(53)k = 5 Û 53k = 51 Û 3k = 1 Û k =
Jadi
Dengan menggunakan pengembangan sifat 1.3 kalian dapat menentukan hubungan antara akar pangkat suatu bilangan dan bilangan berpangkat pecahan seperti berikut :
adalah akar pangkat n dari p atau di tuliskan
disebut bilangan berpangkat pecahan pada berlaku ketentuan berikut
(i) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil
Secara umum, untuk bilangan berpangkat pecahan berlaku sifat berikut
Sifat 1.12
Sifat 1.13

Berdasarkan sifat 1.12 dan 1.13 terlihat bahwa
Contoh :
1) Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut
a.
b.
Penyelesaian
a.
b.

2) Ubahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar
a.
b.
c.
Penyelesaian
a.
b.
c.
3) Ubahlah bentuk akar berikut menjadi pangkat pecahan
a.
b.
Penyelesaian
a.
b.
Uji Kompetensi 2
1. Hitunglah soal-soal berikut dengan dua cara yang telah kamu ketahui !
a. ( 6 x 3 )7
b. (-a5 b5)3
c. (a2)3 (-2b5)5
d. (5a3)5 : (-54 a3)5
e.
2. Ubahlah bentuk-bentuk pangkat negatif berikut ke dalam bentuk pangkat positif
a.
b.
3. Sederhanakan pecahan bentuk akar berikut dengan merasionalkan penyebutnya
a.
b.
c.
d.
4. Nyatakan soal-soal berikut dalam bentuk akar yang paling sederhana
a.
b.
5. Sederhanakanlah soal-soal berikut dan nyatakan hasilnya dalam bentuk bilangan berpangkat rasional positif
a.
b.
c.
d.

Rangkuman
1. Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0
2. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif maka
3. Jika a adalah bilangan rasional, dengan a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat positif maka dengan m > n
4. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif maka
5. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m ≥ n maka pan + qam = an (p + q am-n )
6. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m ≥ n maka

Evaluasi 1
1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
2. Nyatakanlah bentuk-bentuk pangkat berikut kedalam bentuk akar
a.
b.
c.
d.
e.
3. Nyatakan bentuk-bentuk pangkat berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
4. Tentukan nilai dari bentuk-bentuk pangkat berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
5. Hitunglah bentuk-bentuk bilangan berpangkat berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
6. Rasionalkan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
7. Rasioanalkan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
8. Rasioanalkan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
9. Rasioanalkan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
10. Sederhanakan bentuk a2 – b2 untuk
a.
b.


BAB II
BARISAN DAN DERET
BILANGAN


Pada bab ini, kalian akan diajak untuk memahami barisan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri, menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.
A. Pola Bilangan
Suatu pertunjukan di dalam gedung, mempunyai 40 tempat duduk pada barisan paling depan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak dari pada baris di depannya.
Apabila kalian tuliskan banyaknya tempat duduk pada setiap baris, diperoleh tabel sebagai berikut :
Baris ke
1
2
3
4
5
.....
20
Banyak kursi
40
44
48
52
56
.....
116
Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, .... 116. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu kumpulan (himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiap suku berikutnya di peroleh dari suku sebelumnya ditambah 4. contoh lain bilangan-bilangan memiliki pola adalah nomor rumah di jalan raya atau diperumahanan. Rumah-rumah disebelah kiri bernomor 1, 3, 5, 7, 9, ...., 87. Adapun rumah-rumah di sebelah kanan bernomor 2, 4, 6, 8, ...., 88.
Amati barisan bilangan 1, 3, 5, ... , 87 dan juga barisan bilangan 2, 4, 6, ...., 88
Kedua barisan bilangan tersebut memiliki pola dengan setiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya di tambah 2.
1. Pengertian Pola Bilangan
Jika kalian amati, anggota-anggota himpunan bilangan yang telah dipelajari, diurutkan dengan suatu aturan tertentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebut membentuk suatu barisan.
Suatu barisan bilangan dapat ditunjukan dengan pola-pola, untuk itu pelajarilah barisan bilangan berikut ini.
a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9, ... disebut barisan bilangan bilangan ganjil.
Pola barisan ini dapat dilihat pada gambar 2.1
b. Barisan 2, 4, 6, 8, ...
Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap
Polanya dapat dilihat pada gambar 2.2
c. Amati gambar 2.3 berikut
Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga.
d. Amati pola bilangan pada gambar 2.4 pola bilangan pada gambar 2.4 disebut pola bilangan persegi. Mengapa ?. Diskusikan dengan temanmu.
Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut :
1 = 1 atau 12 = 1
4 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5 atau 32 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7



e. Pola Bilangan persegi panjang diantaranya dapat kalian gambar 2.5
Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut
2 = 1 x 2
6 = 2 x 3
12 = 3 x 4
20 = 4 x 5
Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegi panjang? Jelaskan.
2. Pola bilangan pada segitiga pascal
Orang yang pertama kali menemukan susunan bilangan yang berbentuk segitiga adalah Blaise pascal. Untuk mengabadikan namanya, hasil karyanya tersebut kemudian disebut segitiga pascal. Adapun bentuk dari bilangan pada segitiga itu tampak dalam gambar 2.6
Jika kalian amati dengan cermat, bilangan-bilangan yang terdapat pada segitiga pascal memiliki pola tertentu, yaitu dua bilangan yang berdekatan dijumlahkan untuk mendapatkan bilangan pada baris selanjutnya.
Sekarang, amati bilangan-bilangan yang terdapat pada sepanjang garis a dan b pada gambar 2.6. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu barisan dengan dengan aturan berikut.

1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Dengan demikian, barisan 1, 3, 6, 10, .... merupakan barisan bilangan pada segitiga pascal.
Segitiga pascal dapat digunakan untuk menentukan koefisien pada suku banyak (x + y)n dengan n bilangan asli.
Misalnya :
(x + y)1 = 1x + 1y = x + y
(x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 = x3 + 2xy + y2
(x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y2 = x3 + 3x2 + 3xy2 + y3
(x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
3. Menemukan Pola dari Perhitungan Bilangan
Pada bagian 1, kalian telah mengetahui bahwa jumlah bilangan-bilangan ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjil yang pertama) memiliki pola tertentu, yaitu :
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42 dan seterusnya
Jika kalian amati, akan diperoleh :
a. Jumlah dua bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 2,
b. Jumlah tiga bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 3,
c. Jumlah empat bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 4, dan seterusnya.
Sekarang amatilah pola bilangan dari perhitungan berikut ini :
22 – 12 = 4 – 1 = 3 = 2 + 1
32 – 22 = 9 – 4 = 5 = 3 + 2
42 – 32 = 16 – 9 = 7 = 4 + 3
52 – 42 = 25 – 16 = 9 = 5 + 4 dan seterusnya
Pola bilangan ini menunjukkan bahwa selisih jumlah dari bilangan berurutan sama dengan jumlah dari bilangan berurutan tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara aljabar berikut ini :

Misalkan, bilangan yang berurutan ini adalah
a dan a +1 maka
(a + 1)2 – a2 = a2 + 2a + 1 = a2
= 2a2 + 1 = (a + 1) + a
Pola bilangan tersebut selalu benar untuk setiap bilangan asli

Uji Kompetensi 1
1. Tentukan tiga suku berikutnya dari pola bilangan 15, 17, 19, 21, 23, ...
2. Hitunglah jumlah dari bilangan-bilangan berikut !
a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
3. Gambarlah pola dengan menggunakan barisan bilangan berikut !
a. ( 1x 4), (2 x 5), (3 x 6), (4 x 7), ....
b. (2 x 1), (2 x 2), (2 x 3), (2 x 4), ...
c. (2 + 1), (3 + 2), (4 + 3), (5 + 4), ....
4. Gunakan segitiga pascal untuk menguraikan bentuk perpangkatan berikut
a. (x + y)5
b. (x + y)6
c. (x – y)3
d. (x – y)4
5. Berapa jumlah dari
a. Sembilan bilangan ganjil yang pertama
b. Sebelas bilangan ganjil yang pertama
c. Lima belas bilangan ganjil yang pertama
d. Dua puluh dua bilangan ganjil yang pertama

B. Barisan dan Deret Bilangan
1. Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah bilang-bilangan yang disusun dengan aturan tertentu. Setiap bilangan yang terdapat dalam suatu barisan bilangan dinamakan suku barisan. Suku barisan ditulis dengan huruf U dan dibawah huruf U diberi indeks n, suku ke-n dari suatu barisan biasa dilambangkan dengan Un dengan n bilangan asli.
Contoh : barisan 1, 3, 5, 7, 9, ... dapat diilustrasikan sebagai berikut :

Pada ilustrasi tersebut, aturan pembentukan barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... adalah ditambah dua
Contoh :
Tentukan U1, U3 dan aturan pembentukan barisan bilangan 1, 2, 4, 8, ....
Penyelesaian :
Pada ilustrasi tersebut jelas bahwa aturan pembentukan barisan 1, 2, 4, 8, ... adalah dikali 2.
2. Deret Bilangan
Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan. Deret dinotasikan dengan Sn. Dengan demikian, jika kalian memiliki barisan bilangan U1, U2, U3, ...., Un maka deret dari barisan tersebut adalah Sn = U1 + U2 + U3 + ...., Un. Seperti halnya barisan, deretpun dapat kalian bagi menjadii dua macam, yaitu deret aritmatika dan deret geometri
3. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika (sering juga disebut barisan hitung) adalah suatu barisan yang diperoleh dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembeda dan dinotasikan b. Pembeda suatu barisan aritmatika dapat kalian tentukan dengan cara mencari selisih dua suku yang berurutan.
Pada aritmatika U1, U2, U3, ...., Un berlaku

b = U2 – U1 = U3 – U2 – U3 = ......... = Un – Un-1 dengan
b adalah pembeda dan n bilangan asli
Barisan aritmatika dapat dituliskan dalam bentuk seperti berikut :
Rumus untuk menentukan suku ke-n dari suatu aritmatika adalah sebagai berikut :
Un = a + ( n – 1) b
Dengan Un = suku ke-n, n bilangan asli
a = Suku pertama (U1)
b = Pembeda

Dengan melihat nilai pembeda (b) kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun.
Bila b > 0 maka barisan aritmatika naik
Bila b < 0 maka barisan aritmatika turun

Contoh :
1. Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmatika berikut !
a. 3, 7, 11, 15, ...
b. 17, 15, 13, 11, ....
Penyelesaian
a. Diketahui a = 3, U2 = 7, b = U2 – U1 = 7 – 3 = 4
Sehingga, U21 = a + ( 21 – 1) b
= a + 20 b
= 3 + 20 (4)
= 3 + 80
= 83
b. Diketahui a = 17, U2 = 15, b = U2 – U1 = 15 – 17 = - 2
Sehingga, U21 = a + (21 – 1) b
= a + 20 b
= 17 + 20 (-2)
= 17 – 40
= - 23
2. Diketahui suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah 6. Adapun suku kelimanya adalah 18. Tentukan pembeda barisan aritmatika tersebut!
Penyelesaian
Diketahui a = 6, dan U5 = 18
Un = a + (n – 1) b maka
U5 = a + (5 – 1) b
18 = 6 + 4b
Û 4b = 18 – 6
= 12
Û b =
Û b = 3
Jadi, pembeda dari deret tersebut adalah 3
4. Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Untuk mencari nilai Sn dari suatu deret aritmatika, kalian dapat memilih satu diantara dua rumus berikut :
§
§
Dengan Un = suku ke-n, n bilangan asli
a = suku pertama (U1)
b = pembeda
Contoh :
Misalnya diberikan deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 + ....
a. Tentukan U34 dari deret tersebut !
b. Tentukan S16 dari deret tersebut !
c. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau turun ?
Penyelesaian
a. Suku pertama dan pembeda deret tersebut yaitu a = 3 dan b = 4
Sehingga
Un = a + (n – 1) b
U34 = a + (34 – 1) b
= a + 33b
= 3 + 33 (4)
= 3 + 132
= 135
Jadi, U34 dari deret tersebut adalah 135
b. Sn =
S16 =
=
=
= 8 (6 + 60)
= 8 (66)
= 528
c. Oleh karena pembeda pada deret tersebut positif (b = 4) maka deret tersebut termasuk deret naik.
5. Barisan Geometri
Barisan geometri (sering juga disebut barisan ukur) adalah suatu barisan yang diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio) dan dinotasikan r.
Pada barisan geometri U1, U2, U3, ...., Un-1
Un berlaku
Dengan r adalah pembanding dan n bilangan asli
Barisan geometri dapat dituliskan suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah sebagai berikut :
Dengan Un = suku ke-n, n bilangan asli
a = suku pertama (U1)
r = pembanding
Berdasarkan nilai rasio (r), kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun. Bila r > 1 maka barisan geometri naik. Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Contoh :
1. Tentukan suku ke-6 dari barisan 2, 6, 18, ...
Penyelesaian
Diketahui a = 2 dan U2 = 6
Dengan demikian
Un = arn-1
Û U6 = ar6-1
= ar5
= 2 . 35
= 2 . 243
= 468
Jadi, suku ke-6 dari barisan 2, 6, 18, ... adalah 468
2. Tentukan pembanding dari suatu barisan geometri apabila diketahui a = 27 dan U4 = 1
Penyelesaian
Diketahui a = 27 dan U4 = 1
Un = arn-1
Û U4 = ar4-1 = ar3
Û 1 = 27r3
Û r3 =
Û r =
Jadi, pembanding dari barisan geometri tersebut adalah
6. Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri. Untuk mencari nilai Sn dari suatu deret geometri, kalian dapat menggunakan rumus sebagai berikut :
Jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut “
§
§
Dengan a adalah suku pertama (U1) dan r adalah pembanding.

Contoh :
1. Diketahui deret geometri 3 + 9 + 27 + ...
a. Tentukan suku ke-6 dari deret tersebut !
b. Tentukan S6 dari deret tersebut !
c. Apakah deret tersebut merupakan deret geometri naik atau geometri turun ?
Penyelesaian
a. Dari deret tersebut, kalian peroleh a = 3 dan
Un = arn-1
U6 = ar6-1
= ar5
= 3 (3)5
= 3 (243)
= 729
b. Oleh karena r > 1 maka Sn =
Sn =
S6 =
=
=
=
= 1.092
c. Deret tersebut merupakan deret geometri naik karena r > 1
2. Tentukan jumlah empat suku pertama dari suatu deret dengan suku pertama 328 dan U4 = 41.
Penyelesaian
Un = arn-1
Û U4 = arn-1
Û 41 = 328 r3
Û = r3
Û r3 =
Û r =
Oleh karena 0 < r < 1 maka Sn =
Sn =
S4 =
=
=
=
= 615
Jadi, jumlah empat suku pertama dari deret tersebut adalah 615.

Uji Kompetensi 2
1. Tentukan suku ke-54 dari barisan bilangan berikut
a. 7, 9, 11, 13, ...
b. 86, 83, 80, 77, ...
2. Misalnya, suku pertama suatu barisan aritmatika adalah enam. Adapun suku kelima barisan tersebut adalah 22. Tentukan pembeda barisan aritmatika tersebut !
3. a. Suku pertama dan suku keenam dari suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 34 dan 19. Tentukanlah suku ke-11 dari barisan tersebut !
b. Tentukanlah U26 dari suatu barisan aritmatika apabila diketahui U1 = - 54 dan U4 = - 42
c. Tentukanlah suku ke-16 dari suatu barisan aritmatika apabila diketahui a = 15 dan U6 = 30
4. Tentukan pembanding dan suku ke-5 dari barisan-barisan berikut !
a. 64, 16, 4, 1, ...
b. 2, 6, 18, 54, ....
c. 81, 27, 9, 3, ....
5. Misalnya diberikan deret aritmatika 48 + 45 + 42 + 39 + ...
a. Tentukanlah U26 dari deret tersebut !
b. Tentukan S18 dan S27 dari deret tersebut !
c. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau deret turun !
6. Tentukan pembanding dan suku-suku ke-10 dari barisan geometri berikut jika diketahui
a. 88, 44, 22, 11, ...
b. a = 9 dan U4 = 243
c. U3 = 18 dan U6 = 486

Rangkuman
1. Beberapa pola barisan, diantaranya adalah sebagai berikut :
a. Barisan bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, ...
b. Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, ....
c. Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, ....
d. Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, ...
2. Barisan bilangan berpola diperoleh dengan mengurutkan bilangan-bilangan dengan aturan tertentu, dan tiap – tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebut suku dari barisan itu.
3. Rumus suku ke-n barisan aritmatika
Un = a + (n – 1) b
4. Jumlah n suku pertama deret aritmatika

5. Rumus suku ke-n barisan geometri
Un = arn-1
6. Jumlah n suku pertama deret geometri

Evaluasi 2
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !
a. 4, 6, 8, 10, ....
b. 3, 6, 9, 12, ....
c. 1, 5, 9, 13, ....
d. 1,
2. Tentukan hasil dari (x + y)6 kemudian, tentukan
a. Koefisien suku ke-2
b. Koefisien suku ke-5
c. Jumlah koefisien suku ke-2 dan suku ke-4
3. Selama 5 minggu, Budi berlatih lari untuk persiapan lomba lari marathon. Setiap minggu ia harus menempuh jarak dua kali lebih jauh dari pada minggu sebelumnya. Jarak yang ditempuh Budi pada minggu ke-3 adalah 4 km. Tentukan jarak total yang ditempuh Budi selama lima minggu latihan tersebut.
4. Untuk mengisi lowongan pekerjaan, suatu perusahaan melakukan seleksi dalam beberapa tahap. Pada tahap pertama, seleksi diikuti oleh 240 pelamar. Pada tahap kedua, seleksi diikuti oleh 200 pelamar. Adapun pada tahap ketiga, seleksi diikuti oleh 160 pelamar. Tentukan banyaknya pelamar yang akan mengikuti seleksi tahap keempat dan tahap kelima !

DAFTAR PUSTAKA


BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama / Madrasah Tsanawiyah. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional.

Julius Hambali dkk. 1995. Pendidikan Matematika 1 Modul 1-9. Jakarta : Universitas Terbuka.

Marsigit. 2009. Mathematics For Yunior High School. Jakarta : Yudhistira

Negoro. St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Suherman. E dan Surjaya. J. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung : Wijaya Kusumah.

Tim Penyusun Kamus Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa. 1991. Kamus Bahasa Indonesia Edisi Kedua. Jakarta : Balai Pustaka.

Wahyudin Djumanta dan Dwi Susanti. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Bandung : Departemen Pendidikan Nasional.

materi matematika

MATHEMATICS 1
For Junior High School year VII
Fractions
A. Chose the right answer for each of the following problems
1. The shaded area representing of the fraction is …..

a.



b.




c.



d.


2. The result of is ….
a. c.
b. d. 1
3. The result of is …
a. 0.03 c. 0.48
b. 0.3 d. 1.2
4. The decimal 0,35 can be expressed as the simplest proper fraction …
a. c.
b. d.
5. The result of 12,45 x 3,2 is ….
a. 0.3904 c. 3.984
b. 398.4 d. 39.84
6. Mr. Hadi allocates of his salary to pay school fee, is saved in the bank, and rest is used to buy daily needs. Mr. Hadi payment’s for daily need is …
a. c.
b. d.
7. The result of is …
a. c.
b. d.
8. If the fractions arranged in order with the smallest o the left then the correct order
a. c.
b. d.
9. 30% of the television price is Rp198.000,00. The price of the television is …
a. Rp1.000.000,00
b. Rp600.000,00
c. Rp660.000,00
d. Rp780.000,00
10. The simplest form of is …
a. c.
b. d.
11. There are 48 student in a classroom of those students go to school by public transportation, of those students go to school by motorcycle and the rest go to school on foot. How many student go to school on foot ?
a. 18 c. 20
b. 22 d. 24
12. Soraya keeps 240 oranges. Then, 80 oranges are given to her older sister and 70 oranges are given to her younger sister. How many parts of Soraya’s oranges left ?
a. c.
b. d.
13. If the total height of 30 books is 52,5 cm, the height of a book is …
a. 1.5 cm c. 1.75 cm
b. 2.7 cm d. 1.35 cm
14. The result of is …
a. c.
b. d.
15. Ana is doing her homework. She needs minutes to solve first problem. To solve the second problem, Ana needs of the time to solve the first problem. The total time Ana needs to solve those two problems …
a. 3 minutes c. minutes
b. minutes d. minutes
16. Adi, Herman, an Ahmad are fishing. They get 360 fishes. Adi gets of those fishes. Herman gets of those fishes. The rest of those fishes are belong to Ahmad. How many fishes does Ahmad get ?
a. 50 fishers c. 200 fishers
b. 100 fishers d. 260 fishers
17. Consider the following pictures

The figure shows the operation of …
a. 6 x 2 c.
b. 3 x d. 3 x 2
18. = …
a. -5,27 c. -4,25
b. -2,25 d. 4,25
19. -4,32 : (8 + 4) x 3 = …
a. -12 c. -1.08
b. 174 d. -0.12
20. -6 – 2,4 : = …
a. -11.2 c. -4.8
b. -9.2 d. -,7.8

B. Do the following exercises correctly
1. Nyaman Hotel has 350 rooms. Sejuk Hotel has 450 rooms. The of the total rooms in.
Nyaman Hotel has been reserved for holiday. Determine the numbers of the rooms have been reserved in Sejuk Hotel for holiday if there are 400 rooms have been reserved in those two hotels.
2. The weight of a sack of hulled rice is kg. The weight of a sack of flour is kg. determine the weight of six sacks of hulled rice and there sacks of flour.
3. Mr. Dede donates of his salary to an orphanage. Determine the Mr. Dede’s salary if the donated money is Rp200.000,00.
Read again the articles at the earlier chapter of fractions, and then solve the following problems.
4. Estimate the total mass of earth based on the data from those articles.
(use calculator to help your calculation)
5. If the area of ocean is 361,126,400 km2, determine the area of the lands on the earth.
(use calculator to help your calculation)


NGATINI, S.Pd

MATEMATIKA
3 A
UNTUK KELAS IX
SMP

PRAKATA


Buku matematika 3A ini membantu kalian belajat matematika dalam kehidupan sehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yang mudah dipahami. Dengan harapan siswa akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.
Agar lebih mudah mempelajarinya buku ini disusun dari yang sederhana menuju yang lebih komplek. Beberapa hal dimulai dari yang konkrit menuju yang abstrak. Setelah mempelajari buku ini diharapkan agar siswa dapat belajar matematika secara tuntas dan total. Sehingga siswa memiliki penguasaan teori yang tinggi dan mantap untuk menjadi tumpuan dan dapat diandalkan memecahkan berbagai masalah.
Akhirnya semoga buku ini bermanfaat dan jangan segan untuk bertanya jika memasuki kesulitan, selamat belajar, semoga sukses.


Penulis


BAB I
KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN


Pada bab ini, kalian akan diajak memahami kesebangunan bangunan datar dan penggunaan dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi sisfat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah.
A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen
1. Foto Berskala
Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya.
2. Pengertian Kesebangunan
Dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut :
1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai
2)
S
R
P
Q
4 cmSudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar
H
G
E
F
5 cm
D
E
A
B
4 cm Contoh :






Gambar 1.1
Amati gambar 1.1
a. Selidikilah apakah persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH ?
b. Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat PQRS sebangun ?
c. Selidikilah apakah persegi EFGH sebangun dengan belahketupat PQRS ?
Jelaskan hasil penyeledikanmu.
Penyelesaian
a. Amati persegi ABCD dan persegi EFGH
(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah
Jadi sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan persegi EFGH sebanding.
(ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga besar setiap sudutnya 900, dengan demikian sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Berdasarkan (i) dan (ii). Persegi ABCD dan persegi EFGH sebangun.
b. Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS
(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah
Jadi panjang sisi-sisinya yang bersesuaian dari persegi ABCD dan belahketupat PQRS sebanding.
(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai berikut :
< A ≠ < P, < B ≠ Q, < C ≠ R dan CD ≠ < S
Jadi sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar.
Berdasarkan (i) dan (ii) persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH, sedangkan persegi ABCD. Dengan demikian, persegi EFGH tidak sebangun dengan belahketupat PQRS.
3. Pengertian Kekongruen


Pernahkah kalian melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin ? sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar 1.2 (a)
Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geomotri seperti berikut.
Gambar 1.2 (b) adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegi panjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa di balik) diperoleh A à B, B à E, D à C, dan C à F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC.
Akibatnya AB à BE sehingga AB = BE
BC à EF sehingga BC = EF
DC à BC sehingga DC = BC
AD à BC sehingga AD = BC
< DAB à < CBE sehingga < DAB = < CBE
< ABC à < BEF sehingga < ABC = < BEF
< BCD à < EFC sehingga < BCD = < EFC
< ADC à < BCF sehingga < ADC = < BCF
Berdasarkan uraian tersebut diperoleh
a. Sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dab persegi panjang BEFC sama panjang dan
b. Sudut-sudut yang bersesuaian dan persegi panjang ABCD dan persegi panjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.
Uji Kompetensi
1. Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide berturut-turut 36 mm dan 24 mm. Jika lebar layar 2,16 m, tentukan tinggi pada layar
2. Amati gambar berikut
A
B
C
10 cm
D
F
E
4 cm
3 cm






a. Tentukan panjang AC dan EF
b. Apakah ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF ?
Jelaskan jawabanmu.

3. Amati gambar berikut
D
C
A
B
H
G
E
F



Pada gambar tersebut, jajargenjanjan ABCD sebangun dengan jajargenjang EFGH. Jika AB = 15 cm, dan FG = 4 cm, dan AB = 6 cm, tentukan
a. Panjang EH dan GH
b. Panjang BC, CD, dan AD

B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun
1. Syarat dua segitiga sebangun
F
E
D
C
A
B
R
P
Q
M
K
LDua segitiga dikatakan sebangun jika salah satu ketentuan berikut dipenuhi :

(i) Sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama atau

(ii) Sisi-sisi yang bersesuaian sesuai perbandingannya sama


Gambar 1.3

Jadi, untuk dua segitiga di katakan sebangun cukup memenuhi satu syarat saja. Coba perhatikan gambar 1.3
(i) ∆ DEF dan ∆ ABC sama kaki dikatakan sebangun, karena setelah diukur sudut-sudutnya dengan menggunakan besar diperoleh,
< D = < A = 650
< E = < B = 650 ∆ DEF ~ ∆ ABC
< F = < C = 500
(ii) ∆ PQR dan ∆ KLM adalah segitiga siku-siku, dikatakan sebangun, karena setelah diukur masing-masing panjang sisinya diperoleh :
PQ : KL = 3 : 5
PR : KM = 3 : 5 ∆ PQR ~ ∆ KLM
QR : LM = 3 : 5
Perhatikan pula bahwa ketentuan dua segitiga sebangun juga berlaku sebaliknya, yaitu “Jika dua buah segitiga besar sudut-sudutnya yang bersesuaian atau panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka kedua segitiga tersebut sebangun”.
Contoh :
Diketahui dua buah segitiga dengan panjang sisi-sisinya yaitu ∆ ABC, AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 4 cm. ∆ PQR, PQ = 8 cm, QR = 4 cm dan PR = 6 cm. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun ?
Penyelesaian
, maka kedua segitiga tersebut sebangun.
2.
C
a
E
P
q
D
r
c
B
A
bPerbandingan ruas garus pada segitiga

Pada gambar 1.4 tampak ∆ CDE dan ∆ CAB
< CDE = < CAB (sehadap)
< CED = < CBA (sehadap)
< DCE = < ACD (berimpit)
Gambar 1.4
Jadi ∆ CDE ~ ∆ CAB
Maka :
Atau :
Hal ini berarti

Perhatikan perbandingan dibawah ini :
q (p+c) = p (q+r) => (distributif)
pq + cq = pq+pr => (kedua ruas dikurangi pq)
cq = pr => (kedua ruas dibagi cr)

Maka :

C
D
A
B
E
4 cm
6 cmContoh :

Dalam ∆ ABC, DE // AB, hitunglah :
a. Panjang CE
b. Panjang AD


Gambar 1.5

Penyelesaian
a.
qCE = 6 (CE+3)
qCE = 6 CE + 18
qCE – 6 CE = 18
3 CE = 18
CE =
CE = 6 cm
b.
6 DA = 4 x 3
6 DA = 12
DA =
DA = 2 cm



Uji Kompetensi 2
1.
x
6
3
4
4
5
6
8
x
bPada gambar dibawah, hitungla
a. x pada gambar (i)
b. x, y, dan b pada gambar (ii)


(i) (ii)
2.
2 m
R
Q
P
1,5 m
F
D
E
t m Pada gambar disamping sebuah balom dengan ketinggian t meter mempuntai bayangan 45 meter diatas tanah horisontal dan sebuah tiang 2 m mempunyai bayangan diatas tanda horizontal 1,5 m
a. Terangkan mengapa ∆ PQR sebangun ∆ DEP
b. Gunakan perbandingan sisi, hitung tinggi balon di udara (t)
3. Lihatlah ∆ ABC dibawah
a.
B
D
4
A
C
16Tunjukkan ∆ DAC dan ∆ DBA sama sudut
b. Tunjukkan ∆ ABC dan ∆ DBA sama sudut
c. Tunjukkan ∆ ABC dan ∆ DAC sama sudut
d. Tuliskan pada masing-masig a, b, dan c perbandingan sisinya !
e. Bila BD = 4 cm, CD = 16 cm, hitung panjang AB, AD, dan AC

Dua Segitiga yang Kongruen
1. Sifat-sifat Dua Segitiga yang Kongruen
Perhatikan gambar 1.6
E
C
x
o
D
B
A
x
o Pada gambar tersebut terdapat ∆ ABD dan ∆ BCE yang kongruen


Gambar 1.6

a. Dengan memperhatikan sisi-sisinya
AB = BC
AD = BE
BD = CE
Ketiga pasang sisi masing-masing merupakan kaki sudut yang panjangnya sama. Jadi, pada dua segitiga yang kongruen, sisi-sisinya yang bersesuaian.
b. Dengan memperhatikan sudut-sudutnya
< BAD = < CBE
< ABD = < BCE
< ADB = < BEC
Ketiga pasang sudut bersesuaian dan besarnya sama, karena kali-kali sudut yang mengapitnya sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama.
Dengan demikian :
Dua segitiga dikatakan kongruen bila memenuhi sifat :
- Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
- Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

2. Syarat-syarat dua segitiga kongruen
Dua segitiga dikatakan kongruen (sama dan sebangun) apabila
a.
F
E
D
C
B
A
Gambar 1.7Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (S, S, S)
Jika ∆ ABC diimpitkan pada ∆ DEF, maka
AB ↔ DE karena AB = DE
AC ↔ DF karena AC = DF
BC ↔ EF karena BC = EF
Jadi ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen
(AB ↔ DE dibacaAB menempati DE atau DE menempati AB).
b.
M
L
K
O
R
P
P
O
Gambar 1.8Dua padang sisi-sisinya sama panjang dan sudut yang terbentuk oleh kedua sisi itu sama besar (S, s.d, S)
Jika ∆ PQR diimpitkan pada ∆ KLM, maka
PQ ↔ KL karena PQ = KL
< P ↔ K karena PR = KM
PR ↔ KM karena PR = KM.
Jadi ∆ PQR dan ∆ KLM kongruen.

c. Dua pasang sudut sama besar dab kaki sekutu pada sudut yang diketahui itu sama panjang (Sd, S, Sd)
Z
X
Y
I
H
G
o
o
x
x
Gambar 1.9Jika ∆ GHI diimpitkan pada ∆ XYZ, maka
< G ↔ < X, karena < G = < X
GH ↔ XY, karena GH = XY
< H ↔ < Y, karena < H = < Y
Jadi ∆ GHI dan ∆ XYZ kongruen

Dengan demikian :
Dua segitiga dikatakan kongruen, jika salah satu syarat berikut dipenuhi yaitu :
1. Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi)
2. Dua pasang sisi sama panjang dan sudut yang terbentuk oleh kedua sisi itu sama besar (sisi, sudut, sisi)
3. Satu sisi dan dua sudut yang seletak pada sisi itu sama (sudut, sisi, sudut)
Contoh :
Gambarlah trapesium sama kaki ABCD kemudian hubungkan AC dan BD sehingga berpotonga di titik E.
Tulislah pasangan-pasangan segitiga yang kongruen.
C
D
A
B
E
A
C
E
D
B
(a) (b)

Gambar 1.10Penyelesaian
Perhatikan gambar 1.10 (a) pasangan segitiga yang kongruen adalah :
∆ ADE dengan ∆ BCE
∆ ACD dengan ∆ BDE



3. Panjang garis dan besar sudut dari bangun geometri
Gambar 1.11 memperlihatkan segitiga siku-siku ∆ ABC. Jika dibuat garis dari titik sudut B ke hipotenusa AC sedemikian rupa sehingga < ABR = 300 diperoleh :

B
C
T
A
300< ATB = 1800 – (300 + 300) = 1200
< BTC = 1800 – < ATB = 1800 - 1200 = 600
< BCT = 1800 – ( < BAT + < ABC)
= 1800 – (300 + 900) = 600
< CBT = < ABC - < ABT = 900 – 300 = 600

Amati bahwa :
< BAT = < ABT = 300 sehingga ∆ ABT sama kaki dalam hal ini AT = BT
< CBT = < BCT = < BTC = 600 sehingga ∆ BTC sama sisi dalam hal ini BT = BC = CT
Dengan demikian AT = BT = BC = CT. Amati bahwa AT = CT sehingga BT me rupakan garis berat ∆ ABC karena Ac = AT + CT maka AC = BC + BC = 2 BC atau AC = BT + BT = 2 BT
Dari s egitiga siku-siku bersudut 300 seperti berikut sifat !
Panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 300 yang di tarus dari titik sudut siku-siku sama dengan panjang setengah hipotenusanya.
Panjang sisi terpendek dari segitiga siku-sku bersudut 300 sama dengan panjang setengah hipotenusanya.


D
C
A
B
12 cm
300
600
C
A
B
(a) (b)

Gambar 1.12Contoh
Amati gambar 1.12 (a) jajar genjang ABCD terbentuk dari dua sefitiga siku-siku yang kongruen, yaitu ∆ ADC dan ∆ CBA, jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi jajargenjang tersebut.
Penyelesain :
Perhatikan gambar 1.12 (b)
BA = 2 CB
∆ CBA siku-siku di C sehingga berlaku hubungan
(BA)2 = (AC)2 + (CB)2
(1 CB)2 = 122 + (CB)2
4 CB 2 = 144 + (CB)2
3 (CB)2 = 144; CB =
Dengan demikian BA = 2 CB = 2 . = oleh karena ∆ ADC = ∆ CBA maka AD = CB = cm dan DC = BA = cm

Uji Kompetensi
1. Buatlah pola pengubinan dengan menggunakan bentuk berikut :
a. Segitiga sama kaki kongruen
b. Segitiga sama sisi kongruen
2.
600
5 cm
A
C
BPada gambar disamping terdiri dari dua sisi siku-siku yang kongruen. Tentukan panjang sisi dan besar sudut yang belum diketahui
3. Jika diketahui ∆ ABC kongruen ∆ PQR besar < ABC = 1000, < QRP = 400 dan QR = 8 cm. Tentukan :
a. Besar < PQR, < ACB, dan < BAC
b. Panjang sisi AB, BC, dan PQ

Rangkuman :
1. Dua bangun di katakan sebangun jika
a. Panjang sisi –sisi yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut memiliki perbandingan senilai dan
b. Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut sama besar
2. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama di katakan kongruen
3. Syarat dua segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
4. Syarat dua segitiga kongruen
a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (S, S, S) atau
b. Dua sisi yang bersesuaian sama besar (S, Sd, S) atau
c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada diantaranya sama panjang (Sd, S , Sd)

Evaluasi !
1. Tunjukkan bahwa ∆ QRS kongruen ∆ XYZ
S
R
P
Z
Y
X





2.
P
B
S
Q
A
C Diketahui ∆ ABC, AB = AC dan besar < CAB = 900 gambarlah titik P pada sisi AB kemudian buatlah titik Q pada perpanjangan sisi AC sehingga AP = AQ. Gambarlah titik S sebagai titik potong antara CP dan BQ. Buktikan bahwa ∆ CAP @ BAP
3.
F
D
A
B
E
CPada gambar berikut, diketahui BC = BD dan DF = CF

a. ∆ ABC @ ∆ EBD dan
b. ∆ ADF @ ∆ ECF




BAB II
BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Kompetensi Dasar
§ Mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut dan bola
§ Menghitung masalah luas selimut dan volume tabung, kerucut, dan bola
§ Memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung, kerucut, dan bola

A. Luas Bangun Ruang Sisi Lengkung
Tabung
Tabung atau silinder adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi berbentuk lingkaran yang berhadapan kongruen dan sejajar serta satu sisi tegak berupa sisi lengkung .
a. Unsur-Unsur Tabung
Unsur-unsur tabung adalah sebagai berikut :
a)
D
C
A
P
E
B
Gambar 2.1Tabung mempunyai sisi atas (tutup) dan sisi bawah (alas) berbentuk lingkaran yang kongruen (sama ben tuk dan ukurannya.
b) Garis AB dinamakan diameter atas tabung
c) Garis PE, PA dan PB dinamakan jari-jari tabung
d) Garis BC dan AD Dinamakan tinggi tabung
e) Sisi samping (sisi lengkung) dinamakan selimut tabung
f) Bidang yang meliputi sisi atas (tutup) dinamakan permukaan tabung
b. Luas permukaan tabung
Permukaan tabung terdiri atas selimut tabung sisi atas (tutup) dan sisi bawah (alas)
Selimut tabung berupa persegi panjang dengan panjang dengan panjang dan lebar t
Beberapa rumus luas yang sering dipakai pada tabung adalah sebagai berikut:
Luas alas = luas tutup =
Luas permukaan tabung =
Luas permukaan tutup =
Luas permukaan tabung tanpa tutup =
=
Dengan = 3,14 atau = , r = jari-jari tabung, dan t = tinggi
Contoh :
Panjang jari-jari alas sebuah tabung adalah 7 cm dan tingginya adalah 10 cm. Tentukan :
1. Panjang selimut tabung
2. Luas selimut tabung
3. Luas permukaan tabung
Penyelesaian :
Tinggi tabung (t) adalah 10 cm dan jari-jari alas tabung (r) adalah 7 cm
1. Panjan selimut tabung =
=
Jadi, panjang selimut tabung adalah 44 cm
2. Luas selimut tabung =
= 44 x 10
= 440
Jadi, luas selimut tabung adalah 440 cm2
3. Luas permukaan tabung =
= 44 x (10 + 7)
= 44 x 17
= 784
Jadi, luas permukaan tabung adalah 784 cm2

Kerucut
Kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang alasnya berupa lingkaran dengan panjang jari-jari r dan selimut kerucut berupa juring lingkaran
a. Unsur-unsur kerucut
Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut :
a)
t
C
B
A
Gambar 2.2
r
xKerucut terdiri atas sisi lengkung yang digunakan selimut kerucut dan sisi bawah (alas) yang berupa lingkaran.
b) Garis PA dan PC dinamakan jari-jari alas kerucut
c) Garis BP dinamakan tinggi kerucut
d) Garis BA dan BC dinamakan garis pelukis kerucut
Garis pelukis adalah garis yang menghubungkan puncak kerucut tersebut. Jika kerucut menghadap ke atas maka isilah yang digunakan ada;ah tutup, sedangkan jika kerucut menghadap kebawah maka istilah yang digunakan adalah alas.
b. Luas Permukaan Kerucut
(a) (b)
Gambar 2.3
B
s
C
A
P
r
C
s
B
A
s
s
p
r Permukaan kerucut terdiri atas selimut kerucut dan alas kerucut. Luas selimut (luas juring lingkaran ABC dengan jari-jari S) dapat ditentukan dengan perbandingan berikut.





Luas permukaan kerucut = luas selimut kerucut + luas alas kerucut
=
=
Luas selimut kerucut =
Luas permukaan kerucut =
=
Dengan II = 3,14 atau , jari-jari alas kerucut, dan s = garis pelukis kerucut.
Contoh :
Jari-jari alas sebuah kerucut adalah 6 cm. Jika tinggi kerucut adalah 8 cm, hitunglah :
1. Luas selimut kerucut
2. Luas permukaan kerucut
Penyelesaian :
Panjang garus pelukis kerucut (s) ditentukan sebagai berikut :
Akibatnya :
1. Luas selimut kerucut =
= 3,14 x 6 x 10
= 188,4
Jadi luas selimut kerucut adalah 188,4 cm2
2. Luas permukaa kerucut =
= 3,14 x 6 (10+6)
= 18,84 x 16
= 301,44
Jadi luas permukaan kerucut adalah 301,44 cm2

Bola
o
C
A
B
A
rBola adalah bangun ruang yang dibangun dari bidang setengah lingkaran yang di putar pada garis tengahnya.

Ganbar 2.4


a. Sifat-sifat dan unsur-unsur bola
o
A
D
C
B
Gambar 2.5Bola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk. Amati gambar 2.5
1) Titik O dinamakan titik pusat bola
2) Garis OA dinamakan jari-jari bola. Sebutkan jari-jari bola lainnya
3) Garis CD dinamakan diameter bola
Sifat-sifat Bola
1) Bola terbentuk dari kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik pusat O
2) Bola dapa dibagi menjadi lingkaran-lingkaran yang memiliki panjang diameter terbesar adalah lingkaran dengan diameter yang sama panjangnya dengan diameter bola.
3) Garis yang menghubungkan titik pusat bola dengan titik di permukaan bola sama panjang.
b. Luas permukaan bola
Tidak seperti tabung atau kerucut yang mempunyai rusuk lengkung, tidak pula seperti kerucut yang mempunyai titik sudut, bola tidak mempunyai rusuk lengkung dan titik sudut. Bola hanya mempunyai satu bidang sisi lengkung yang disebut selimut bola (permukaan bola) luas permukaan bola dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
Luas permukaan bola = 2 x luas permukaan setengah bola
= 2 x (2 x luas lingkaran)
= 2 x ( 2 x p r2)
= 4 p r2
Luas permukaan bola = 4 pr2
Dengan p = 3,14 atau p , dan r = jari-jari bola
Contoh :
Jari-jari bola adalah 10 cm. Hitunglah luas permukaan bola !
Penyelesaian :
Luas permukaan bola = 4 p r2
= 4 x 3,14 x 102
= 12,56 x 100
= 1.256
Jadi, luas permukaan bola adalah 1.256 cm2

Uji Kompetensi !
1. Sebuah tabung diketahui luas permukaannya 4.396 cm2. jika tinggi 15 cm dan p = 3,14. Hitunglah tinggi tabung itu !
2. Sebuah kerucut berdiameter 10 cm. Jika tingginya 12 cm dan p = 3,14. Hitunglah :
a. Luas selimutnya
b. Luas alasnya
c. Luas permukaan kerucut
3. Hitunglah diameter bola jika p = 3,14 dan luas permukaanya :
a. 200,96 cm2
b. 452,16 cm2
c. 1.256 cm2
d. 5.024 cm2
4. Hitunglah luas permukaan bola yang memiliki ketentuan berikut :
a. Jari-jari 49 cm dan p =
b. Diameter 80 cm dan p = 3,14
5. Sebuah kerucut jari-jari alasnya 10 cm. Jika panjang garis pelukisnya 26 cm dan p = 3,14. hitunglah :
a. Tinggi kerucut
b. Luas selimut kerucut
c. Luas alas kerucut
d. Luas permukaan kerucut
6. Sebuah penampung minyak berbentuk tabung dengan keliling alasnya 50,24 m dan tingginya 10 m. Sisi atas dan lengkungnya akan dicat. Jika untuk mengecat 1 m2 memerlukan biaya Rp.30.000,00. Berapa biaya yang di butuhkan untuk mengecat penampung minyak itu ?
7. Sebuah pabrik akan membuat tenda berbentuk kerucut tanpa alas dari kain parasit. Tenda yang akan dibuat memiliki diameter 20 m dan panjang garis pelukis 5 m. Jika biaya pembuatan tenda tiap m2 adalah Rp.80.000,00. Berapa biaya yang harus disediakan untuk membuat sebuah tenda ?
8. Ukuran garis pelukis kerucut lebih panjang 15 cm dari pada panjang jari-jari alasnya. Jika luas selimut kerucut adalah 2.189 cm2 dan p = 3,14. Hitunglah :
a. Panjang jari-jari dan panjang garis pelukis kerucut dan
b. Luas permukaaan kerucut
9. Sebuah model kerucut akan dibuat dari alumunium. Jika luas permukaanya 200 cm2. Jawablah pertanyaan berikut :
a. Mungkinkah diameter model kerucut tersebut 30 cm ? Jelaskan jawabanmu !
b. Berapa panjang diameter kerucut yang mungkin
10. Sebuah mengkuk berbentuk setengah bola. Keliling bibir mengkuk tersebut adalah 31,4 cm. Tentukan luas permukaan mengkuk tersebut !

B. Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
1. Volume Tabung
V = Luas alas x tinggi
= Luas lingkaran x tinggi
= p r2 t
V = Volume tabung
p = 3,14 atau p =
r = jari-jari alas tabung
t = tinggi tabung
Contoh :
Hitunglah volume tabung yang mempunyai jari-jari alas 7 cm, dan tinggi 20 cm !
Penyelesaian :
Jari-jari alas tabung (r) adalah 7 cm dan tinggi tabung (t) adalah 20 cm. Oleh karena itu berlaku.

Volume tabung = pr2t
=
= 22 x 7 x 20
= 3.080
Jadi, volume tabung adalah 3.080 cm3
2. Volume Keucut
Volume kerucut = x luas alas kerucut x tinggi kerucut
= x pr2 x t
Volume kerucut = x pr2 t
Dengan p = 3,14 atau p = , r = jari-jari alas kerucut, dan t = tinggi kerucut.
Contoh :
Hitunglah volume kerucut yang mempunyai jari-jari 3 cm dan panjang garus pelukis 5 cm !
Penyelesaian :
Jari-jari alas kerucut (r) adalah 3 cm dan panjang garus pelukis kerucut (s) adalah 5 cm. Tinggi kerucut ditentukan sebagai berikut :
à s2 = r2 + t2
à t2 = s2 – r2
à t2 = 52 – 32
à t2 = 25 – 9
à t2 = 16
à t =
à t = 4
Volume kerucut = pr2t
= x 3,14 x 32 x 4
= 37,68
Jadi, volume krucut adalah 37,68 cm3


3. Volume Bola
Volume bola dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
Volume bola = 2 x volume setengah bola
= 2 x ( 2 x volume kerucut)
= 4 x volume krucut
= 4 x pr2t
= pr2t = pr3
Tinggi kerucut (t) = jari-jari kerucut (r)
Volume bola = pr3, dengan p = 3,14 atau
p = , dan r = jari-jari bola.
Cotoh :
Hitunglah volume bola yang mempunyai jari-jari 10 cm !
Penyelesaian :
Volume bola = pr3
= x 3,14 x 103
= x 3.140
= 4.186,67
Jadi, volume bola adalah 4.186,67 cm3
Uji Kompetensi 2
1. Sebuah kaleng makanan yang berbentuk tabung mempunyai tinggi 10 cm dan diameter 7 cm. Tentukan volume kaleng tersebut !
2. Sebuah kaleng yang berbentuk tabung mempunyai jari-jari 10 cm. Kaleng tersebut terisi penuh oleh 11.000 cm3 air. Tentukan tinggi kelang tersebut !
3. Sebuah drum yang berbentuk tabung mempunyai jari-jari 30 cm dan tinggi 100 cm. Drum tersebut terisi penuh oleh minyak tanah. Tentukan volume minyak tanah yang ada di dalam drum tersebut !
4. Sebuah kerucut mempunyai jari-jari alas 9 cm dan panjang garis pelukis 15 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut !
5. Diketahui keliling lingkaran alas suatu kerucut adalah 132 cm dan panjang garis pelukisnya adalah 35 cm. Tentukan volume kerucut tersebut !
6. Sebuah gelas mempunyai penampang yang berbentuk kerucut. Keliling bibir gelas adalah 22 cm. Jika tinggi penampang gelas adalah 10 cm, tentukan volume gelas tersebut !
7. Sebuah lerucut mempunyai tinggi 21 cm dan jari-jari tutup 20 cm. Tentukan volume kerucut tersebut !
8. Suatu bola mempunyai jari-jari 14 cm. Hitunglah volume bola !
9. Diketahui luas permukaan bola adalah 616 cm2.
Hitunglah :
a. Jari-jari bola, dan
b. Volume bola
10. Sebuah jeruk dipotong melintang sama besar. Ternyata diameter jeruk tersebut adalah 7 cm (jeruk tersebut dianggap berbentuk bola). Tentukan volume separuh jeruk tersebut !
Rangkuman :
1. Tabung
Luas permukaan
L = 2pr (r + t)
Volume
V = p r2 t
2. Kerucut
Luas permukaan
L = p r (s + r)
Volume
V = pr2t
3. Bola Permukaan
L = 4 pr2
Volume
V = pr3

Evaluasi 2
1. Sebuah tangki minyak berbentuk tabung. Tangki tersebut terisi penuh oleh 2.355 dm3 minyak tanah. Jika tinggi tangki 300 cm, hitunglah :
a. Diameter tangki minyak tersebut, dan
b. Luas permukaan tangki minyak tersebut
2. Berapa luas plastik yang digunakan sebagai tutup pada sisi lengkung dari 10 buah kaleng cat berukuran sama jika kaleng mempunyai jari-jari alas 12 cm dan tinggi 20 cm ?
3. Bekti ingin dibuatkan tumpeng berbentuk kerucut yang mempunyai tinggi 30 cm. Jika dikehendaki luas alas tumpeng adalah 616 cm2
a. Berapakah jari-jari alas tumpeng tersebut ?
b. Berapakah volume tumpeng tersebut ?
4. Adik membeli Pop Corn dalam kantong kertas berbentuk kerucut. Jika volume Pop Corn tersebut adalah 314 cm3 dan diamater tutupnya adalah 10 cm, hitunglah :
a. Tinggi kantong tersebut, dan
b. Luas kertas pembungkus Pop Corn tersebut
5. Intan mempunyai dua buah globe yang terbuat dari kaca. Salah satu globe mempunyai diameter 15 cm dan tebal kaca bahan globe 0,5 cm.
a. Berapakah volume globe dalam kaca tersebut ?
b. Berapakah luas kaca glone tersebut ?

BAB III
STATISTIKA

Kompetensi Dasar
§ Menentukan rata-rata median dan modus data tunggal serta penafsirannya
§ Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, dan lingkaran.

A. Pengumpulan dan Penyajian Data
1. Pengertian Datum dan Data
Seorang guru ingin mengetahui berat badan dan tingkat kesehatan lima siswanya. Hasil pengukuran berat badan kelima siswa tersebut berturut-turut 42 kg, 45 kg, 50 kg, dan 44 kg. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan terhadap kelima siswa tersebut berturut-turut baik, buruk, baik, baik, dan buruk.
Hasil pengukuran berat badan kelima tersebut yaitu 42 kg, 45 kg, 50 kg, dan 44 kg disebut fakta dalam bentuk angka, sedangkan hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Fakta dalam bentuk kategori yang lain, misalnya kurang, sedang, rusak, dan puas. Selanjutnya fakta tunggal disebut datum. Sedangkan kumpulan datum disebut data.
Contoh :
Hasil ulangan matematika 10 siswa kelas IX A SMP adalah sebagai berikut :
Data tersebut terdiri atas 10 datum. Datum terbesar 10, sedangkan datum terkecil adalah 5
2. Pengertian statistik, populasi dab sampel
Statistika adalah cabang matematika yang mempelajari metode pengumpulan, pengolahan, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data. Salah satu kegunaan statistika adalah mengolah data yang ada menjadi informasi yang berguna. Populasi, sampel, data tabel, diagram, rata-rata median, dan modus merupakan istilah-istilah dan statistika
Populasi adalah kelompok objek yang memiliki karakteristik yang sama.
Sampel adalah perwakilan atau contoh dari populasi.
Contoh :
Tentukan populasi dan sampel dari uraian berikut seorang peneliti ingin mengetahui tingkat kecerdasan siswa-siswa SMP di suatu provinsi untuk itu. Ia mengambil beberapa siswa SMP di propinsi itu untuk di tes.
Penyelesaian :
Seluruh siswa yang ada di peropinsi itu merupakan populasi sedangkan sebagian siswa SMP yang megikuti tes merupakan sampel dari seluruh siswa yang ada diprovinsi itu.
3. Jenis Data dan Pengumpulan Data
Menurut sifatnya, data dibagi menjadi dua dolongan yaitu :
a. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu dara cacahan dan data ukuran.
1) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung misalnya, data jumlah anak dalam keluarga
2) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur misalnya data tinggi badan siswa.
b. Data Kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka atau bilangan. Misalnya, data warga dan mutu barang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain wawancara, pengisihan lembar pertanyaan (questionaire), pengamatan (observation), dan mengolah atau menggunakan data yang sudah ada.
Seringkali data yang di kumpukan berupa bilangan desimal. Sesuai ketelitian yang dikehendaki, bilangan tersebut dapat dibulatkan. Aturan pembulatannya sebagai berikut :
a. Jika angka yang mengalami pembuatan lebih dari atau sama dengan 5 angka yang didepannya di tambah satu
b. Jika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, angka tersebut dihilangkan.
Misalnya diketahui hasil penguburan kadar garam air laut sebesar 0,36107. Angka tersebut jika dibulatkan sampai dengan empat angka dibelakang koma menjadi 0,3611. sedangkan jika dibulatkan sampai dengan lima angka di belakang koma menjadi 0,36.
4. Pemeriksaan Data
Misalkan, seorang guru mencatat hasil ulangan matematika seluruh siswanya. Sebelum mencari nilai rata-ratanya, ia perlu memeriksa untuk memastikan data yang diperoleh tidak salah catat. Ya juga perlu memeriksa apakah ada nilai-nilai yang harus dibulatkan atau tidak. Kesalahan pencatatan dan pembulatan data ini akan menyebabkan nilai rata-rata ulangan matematika di kelas tersebut tidak sesuai dengan data yang sebenarnya.
5. Penyajian Data Statistik
Ada dua cara penyajian data yag sering dilakukan yaitu :
a. Daftar atau tabel
b. Grafik atau diagram


a. Penyajian data dalam bentuk tabel
Misalkan, hasil ulangan matematika 30 siswa kelas IX A SMP X disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 3.1 Nilai ulangan matematika siswa kelas IXA SMP X (Tidak Alfabetis).

Jika data pada tabel 3.1 disajikan sesuai nama siswa yang disusun secara alfabet maka akan tampak seperti tabel 3.2




Tabel 3.2 Nilai Ulangan Matematika siswa kelas IX A SMP X (Alfabetis)
Dengan melihat tabel 3.2 kalian dapat menentukan dengan mudah nilai ulangan matematika yang diperoleh Oktian, yaitu 8.
Jika ingin megetahui beberapa orang yang memperoleh nilai 8, kalian harus mengajukan data tersebut dengan mencatat banyak nilai tertentu (frekuensi) yang muncul seperti di perlihatkan pada tabel 3.3

Tabel 3.3 Tabel Frekuensi
Tabel 3.4 Tabel Distribusi Frekuensi
Dengan demikian bahan dapat menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 8 dengan sekali pandang, yaitu 6 orang.
Ketiga cara penyajian data pada tabel 3.1 tabel 3.2 dan tabel 3.3 dinamakan penyajian data sederhana.
Jika data hasil ulangan matematika itu disajikan dengan cara megelompokkan data nilai siswa diperoleh tabel frekuensi data berkelompok seperti tabel 3.4. Tabel seperti ini dinamakan tabel distribusi frekuensi.
b. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
1) Diagram Batang
Diagram batang, merupakan salah satu diagram yang dapat digunakan untuk menyajikan data untuk menggambarkan diagram batang diperlukan sumbu mendatar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus, seperti tampak pada gambar 3.1
a. Sumber mendatar digunakan untuk menunjukkan jenis kategori, misalnya SD, SMP, SMA, dan SMK
b. Sumber tegak digunakan untuk menunjukkan frekuensi, misalnya banyak siswa.
Tabel 3.5 Tabel Banyak Siswa
Sumber mendatar dibagi menjadi beberapa bagian untuk menunjukkan kategori tingkat sekolah. Demikian pula sumbu tegaknya dibagi menjadi beberapa bagian untuk menunjukkan banyak siswa pada setiap kategori tingkat sekolah. Skala pada sumbu mendatar dan sumbu tegak tidak perlu sama.
Misalnya diagram batang pada gambar 3.1 menunjukkan data banyak siswa tingkat SD, SMP, SMA dan SMK disuatu daerah. Dari diagram batang tersebut dapat diperoleh seperti diagram tabel 3.5
2) Diagram Garis
Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang pengamatannya di lakukan dan waktu ke waktu secara teratur. Misalnya, penimbangan berat badan seseorang yang dilakukan setiap tahun. Contoh diantaranya adalah seperti pada tabel berikut.
Tabel 3.6 Penimbangan Berat Badan Seseorang
Diagram garis untuk data pada tabel 3.6 adalah tertera pada gambar 3.2
Perhatikan gambar 3.2 pada sumbu tahun, untuk angka 2006 menunjukkan skala 70 pada sumbu berat badan. Artinya, pada tahun 2006 berat badan seseorang tersebut adalah 70 kg.
3) Piktogram dan Diagram Lingkaran
Piktogram adalah suatu badan yang menampilkan data dengan menggunakan gambar-gambar. Jika disuatu daerah tercatat data banyak siswa SD, maka banyak siswa SD tersebut depat ditampilkan dalam bentuk gambar orang. Misalnya satu gambar orang melambangkan 1.000 siswa SD, jika di daerah itu terdapat 500 siswa SD, data tersebut ditampilkan sebagau setengah gambar orang.
Contoh :
Banyak siswa di kecamatan Wirosari menurut tingkat sekolah pada tahun 2009 adalah sebagai berikut SD sebanyak 10.000 siswa, SMP sebanyak 7.500 siswa, SMA sebanyak 5.000 siswa dan SMK sebanyak 2.500 siswa. Gambarlah piktogram dari data tersebut.
Penyelsaian

SMK
SD SMP SMA
Gambar 3.3
Salah satu kekurangan menyajikan data dengan piktogram adalah sulitnya membedakan setengah gambar dengan dua pertiga gambar. Oleh karena itu, penggunaan piktogram sangat terbatas.
Dalam hal seperti ini, penggunaan diagram lingkaran akan lebih jelas dari pada piktogram, terutama dalam membandingkan suatu data terhadap keseluruhan. Contoh diagram lingkaran diperlihatkan pada gambar 3.4.
Langkah-langkah membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut :
a. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas
b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat.
Contoh :
Gambarlah diagram lingkaran dari data yang terdapat pada contoh gambar 3.3
Penyelesaian :
Perbandingan banyak siswa SD, SMP, SMA dan SMK adalah 10.000 : 7.500 : 5.000 : 2.500 = 4 : 3 : 2 : 1
Jumlah perbandingan 4 + 3 + 2 + 1 = 10
Ukuran sudut pusat juring dari setiap kategori adalah sebagai berikut :
SD = x 3600 = 1440
SMP = x 3600 = 1080
SMA = x 3600 = 720
SMA = x 3600 = 360
Jika kalian ingin mengetahui persentase dari setiap kategori caranya sebagai berikut :
SD = x 100% = 40%
SMP = x 100% = 30%
SMA = x 100% = 20%
SMA = x 100% = 10%
Dengan menggunakan ukuran sudut pusat yang diperoleh, diagram lingkaran yang dihasilkan tampak pada gambar 3.4

Uji Kompetensi !
1. Seseorang ingin mengetahui kadar garam dalam sebuah kolam ikan. Tentukan populasi dan sampel yang mungkin !
2. Banyaknya siswa disuatu SMP dari tahun 2000 sampai dengan 2009 adalah sebagai berikut
Tahun 2000 sebanyak 650 orang
Tahun 2001 sebanyak 640 orang
Tahun 2002 sebanyak 660 orang
Tahun 2003 sebanyak 670 orang
Tahun 2004 sebanyak 685 orang
Tahun 2005 sebanyak 680 orang
Tahun 2006 sebanyak 700 orang
Tahun 2007 sebanyak 715 orang
Tahun 2008 sebanyak 730 orang
Tahun 2009 sebanyak 730 orang
a. Buatlah tabel frekuensi dari data tersebut !
b. Buatlah diagram garisnya !
3. Hasil penjualan buku pelajaran di sebuah toko buku menurut tingkat sekolah pada tahim 2009 adalah sebagai berikut :
Buku SD = 70.000 eksemplar
Buku SMP = 76.500 eksemplar
Buku SMA = 72.500 eksemplar
Buku Perguruan Tinggi = 56.000 eksemplar
a. Buatlah tabel frekuensi dari data tersebut !
b. Buatlah diagram batanganya !
4. Misalnya suatu data mengenai banyak siswa di daerah A menurut tingkat sekolah berdasarkan hasil penelitian tahun 2009 adalah sebagai berikut :
a. Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut
b. Jika jumlah siswa SD sebanyak 600 orang hitunglah jumlah siswa!
(i) SMP
(ii) SMA
(iii) SMK
5. Suatu data mengenai jumlah penduduk di suatu daerah menurut mata pencahariannya, yaitu petani 45%, guru 20%, pedagang 25% dan wiraswasta 10%.
a. Buatlah diagram lingkaran
b. Jika jumlah penduduk di daerah tersebut sebanyak 200 orang, hitunglah banyaknya penduduk berdasarkan mata pencahariannya masing-masing.

B. Ukuran Pemusatan Data
1. Mean (Rataan)
Mean merupakan salah satu ukuran pemusatan dari data yang akan ditarik kesimpulannya.
Jika diketahui data tunggal sebagai berikut x1, x2, .........., xn dengan x1 = data ke-1, x2 = data ke-2, ...... xn = data ke-n maka rata-rata (mean) data tersebut dapat dicari dengan rumus sebagai berikut.
Jika data dalam tabel sebaran frekuensi data tunggal maka
Contoh
Misalnya data nilai harian matematika seorang siswa pada suatu periode seperti tabel berikut :

Nilai rata-rata matematika pada ulangan tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :



= 6,4
Jadi, nilai rata-rata ulangan harian matematika siswa tersebut adalah 6,4
2. Median (Nilai Tunggal)
Untuk menentukan median, data harus diurutkan dari data terkecil dahulu setelah data diurutkan dari data terkecil maka data yang terletak ditengah disebut median.
Berikut ini adalah tahapan-tahapan untuk menentukan median :
1. Data diurutkan dari data terkecil
2. Jika banyaknya data ganjil maka
Median : data ke
Dengan n menyatakan banyaknya data
3. Jika banyaknya data genap maka
Median =
Dengan n menyatakan banyaknya data
Contoh :
1. Data berat badan 11 pemain sepak bola (dalam kg) adalah sebagai berikut:
77 75 69 65 80 70 85 82 73 79 74
Setelah data diurutkan dari data terkecil, hasilnya adalah sebagai berikut :
65 69 70 73 74 75 77 79 80 82 85
Ternyata, data yang terletak di tengah terdapat pada data ke-6 yaitu 75
Jadi, mediannya adalah 75
2. Data tinggi badan 6 pemain voli (dalam cm) adalah sebagai berikut :
160 155 165 168 157 163
Setelah data diurutkan dari data terkecil, hasilnya sebagai berikut :
155 157 160 163 165 168
Ternyata data yang terletak ditengah terdapat diantara data ke-3 (160) dan data ke-4 (163) oleh karena data yang ada ditengah ada dua maka mediannya adalah jumlah data yang ditengah dibagi dua, jadi mediannya adalah
3. Untuk data yang tersusun dalam tabel seberan frekuensi, data tunggal berikut tentukan mediannya !
Pada tabel tersebut banyak siswa (jumlah seluruh frekuensi) adalah 40 setelah data diurutkan dari data terkecil, diperoleh bahwa data yang ditengah adalah data terletak diantara data ke-20 dan data ke-21jadi mediannya adalah
3. Modus
§ Modus adalah data yang paling sering muncul atau data yang frekuensinya terbesar
§ Modus suatu data dapat lebih dari satu
§ Modus dapat berupa bilangan atau bukan bilangan
Contoh :
1. Data tinggi badan 10 pemain basket (dalam cm) yang akan bertanding adalah sebagai berikut :
170 175 172 173 175 176 175 177 180 178
Dari data tersebut, ukuran tinggi badan yang paling banyak dimiliki oleh pemain basket adalah 175 cm, yaitu terdapat 3 pemain yang mempunyai tinggi badan 175 cm. Dengan demikian dikatakan bahwa modus tinggi badan pemain adalah 175 cm.
2. Perhatikan data nilai matematika siswa pada tabel berikut !
Dari data tersebut, nilai yang paling sering diperoleh siswa adalah 6. Pada tabel terdapat siswa yang memperoleh nilai 6 dalam hal ini dikatakan bahwa modus dari data tersebut adalah 6.
Uji Kompetensi 3
1. Diketahui data kecepatan lari dari 9 atles (dalam m/dt) adalah sebagai berikut :
5 2 3 6 4 4 3 3 5
a. Tentukan rata-rata kecepatan lari 9 atles tersebut !
b. Tentukan mediannya !
c. Tentukan Modusnya !
2. Data kandungan energi dari 20 makanan kemasan (dalam kilo kalori) adalah sebagai berikut :
145 145 150 140 155 140 160 165 150 155
155 150 145 140 145 155 160 165 160 155
a. Hitunglah rata-rata kandungan energinya !
b. Tentukan mediannya !
c. Tentukan modusnya !
3. Data keuntungan koperasi sekolah yang dihitung perhari dalam sebulan tersaji dalam tabel berikut :
a. Tentukan rata-rata keuntungan koperasi tersebut perhari !
b. Tentukan mediannya !
c. Tentukan modusnya !
4. Data nilai ulangan matematika siswa disajikan dalam tabel berikut :
a. Hitunglah rata-rata nilai ulangan matematika siswa tersebut !
b. Tentukan mediannya !
c. Tentukan modusnya !
5. Data ukuran sepatu siswa kelas IX adalah sebagai berikut :
37 38 39 36 37 40 41 37 42 30
38 39 38 37 36 42 38 41 38 40
36 38 39 40 41 43 42 39 40 39
37 40 41 42 38 38 36 41 38 43
a. Berapakah ukuran sepatu yang menjadi modusnya ?
b. Berapakah ukuran sepatu terbesar ?
c. Berapakah ukuran sepatu terkecil ?

C. Ukuran Penyebaran Data
1. Jangkauan
Jangkauan suatu data adalah selisih antara datum terbesar dan datum terkecil yang dirumuskan sebagai berikut :
Jangkauan : datum terbesar – datum terkecil
Contoh :
1. Nilai rapor seorang siswa kelas IX adalah 5, 8, 7, 6, 7, 5, 6, 6, 7. Tentukan jangkauannya
Penyelesaian :
Datum terbesar : 8 dan datum terkecil : 5
Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil
= 8 – 5 = 3
2. Suatu data memiliki macam 16 dan Jangkauan 6. Jika setiap nilai di dalam data tersebut dikalikan q kemudian di kurangi p maka diperoleh data baru dengan mean 20 dan Jangkauan q. Tentukan nilai dari 2p + q.
Penyelesaian :
Data mula-mula adalah x1, x2, x3, ....,xn dengan mean dan j = 6, sehingga j = xn – x1 = 6 ............... (1)
Data baru adalah qx1 – p, qx2 – p, qx3 – p, ....., qxn – p dengan j = q
Sehingga (qxn – p) – (qx1 – p) = 9
Q(xn – x1) = 9 ................... (2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) diperoleh
q x 6 = 9
↔

Diketahui maka
↔ ↔ ↔ p = 4
Jadi, 2p + q = 2(4) +
2. Kuartil Jangkauan yang terkuartil dan simpangan kuartil
Kuartil adalah ukuran yang membagi data menjadi empat kelompok yang sama banyak.
Ada tiga jenis kuartil, yaitu kuartil pertama (kuartil bawah), kuartil kedua (kuartil tengah atau median), dan kuartil ketiga (kuartil atas). Kuartil – kuartil itu berturut-turut di beri notasi Q1, Q2, dan Q3.
Untuk lebih jelasnya amati gambar pembagian data terurut menjadi empat kelompok yang sama banyak seperti berikut :
Kelompok I
Kelompok II
Kelompok III
Kelompok IV
+ + +
data data data data


Q1 Q2 Q3
(kuartil bawah) (kuartil tengah) (kuartil atas)
Gambar 3.5
Keterangan :
Banyak datum kalompol I : banyak datum kelompok 2 : banyak datum kelompok 3 : banyak datum kelompok 4.
Untuk menentukan nilai-nilai kuartil dari suatu data, langkah pertama yang harus kalian lakukan adalah mengurutkan data tersebut misalnya, diketahui data 4, 2, 3, 5, 7, 3 setelah diurutkan, tentukan median dari data tersebut. Nilai median yang diperoleh tidak lain adalah Q2 kemudian tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data dibawah Q2 menjadi dua bagian sama banyak. Selanjutnya, tentukan kuartil atas (Q3) dengan cara membagi data diatas Q2 menjadi dua bagian sama banyak. Hasilnya tampak seperti pada bagian berikut :


2 3 3 4 5 7

Q1 Q2 Q3
Dengan demikian diperoleh Q1 = 3, Q2 = dan Q3 = 5
Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah jika Jangkauan interkuartil di notasikan dengan Qn maka :
Qn = Q3 – Q1
Simpangan kuartil (Jangkauan interkuartil di notasikan dengan Qd maka :
Qd = Qn atau Qd = (Q3 – Q1)
Contoh :
Nilai rapor Ratna, siswa kelas IX adalah sebagai berikut :
7, 6, 8, 5, 7, 9, 7, 7, 6. Tentukan
a. Kuartil bawah, median, dan kuartil atas
b. Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil
Penyelesaian :
5 6 6 7 7 7 7 8 9

Q1 = Q2=7 Q3 =
a. Jadi, kuartil bawah = 6, median : 7 dan kuartil atas : 7,5
b. Qd = Q3 – Q1
= 7,5 – 6 = 1,5
Qd =
=
Jadi, jangkauan interkuartil = 1,5 dan simpangan kuartil = 0,75
Untuk menentukan kuartil data yang keberapa datumnya sama (memiliki frekuensi tertentu), dapat digunakan rumus berikut.
Misalnya banyak seluruh datum
n1 + n2 + ............ + n1 = N
Dengan i = 1, 2, 3, ..........., sehingga
§ Q1 merupakan datum ke atau 25% + N
§ Q2 merupakan datum ke atau 50% + N
§ Q3 merupakan datum ke atau 25% + N
Contoh :
Data pada tabel 3.6 adalah nilai ulangan matematika dari 40 siswa kelas IX A.
a. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah dan kuartil atas
b. Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil
Tabel 3.6
Penyelesaian :
Diketahui : N = n1 + n2 + ..........+ ni
= 1+4+2+5+8+9+5+4+1+1 = 40
a. Q1 merupakan datum ke
Jadi, Q1 merupakan datum ke 10, yaitu 4
Q2 merupakan datum ke
Jadi, Q2 merupakan datum ke 20, yaitu 5
Q3 merupakan datum ke
Jadi, Q3 merupakan datum ke 30, yaitu 7
b. QR = Q3 – Q1 = 7 – 4 = 3
Qd = QR = .3 = 1,5
Uji Kompetensi
Untuk soal nomor 1 dan 2, tentukan kuartil bawah, median, kuartil atas, jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil.
1. 49 46 30 43 42
47 40 45 44 56
2. 14 13 15 13 11 11
14 12 12 15 12 12
3. Tekanan darah seorang pasien (dinyatakan dalam mmHg) rumah sakit dicatat sehingga diperoleh data sebagai berikut :
180 160 178 150 176 130
180 125 178 126 180 124
174 120 165 120 166 120
Tentukan :
a. Jangkauan
b. Kuartil bawah, median, dan kuartil atas
c. Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil
4. Lama pembicaraan melalui telepon yang dilakukan oleh seorang pedagang elektronik (dinyatakan dalam menit) tercatat sebagai berikut :
8 12 4 35 10 12
6 8 15 9 12 24
17 25 16 7 11 15
10 12 14 14 5 6
18 6 22 25 23 18
Tentukan :
a. Jangkauan
b. Kuartil bawah, median, dan kuartil atas
c. Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil

D. Distribusi Frekuensi
Untuk membuat tabel distribusi frekuensi yang baik, gunakan aturan-aturan sebagai berikut :
a. Tentukan datum terkecil dan datum terbesar kemudian hitung jangkauannya (range) dengan rumus sebagai berikut
Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil
b. Tentukan banyaknya interval kelas, misalnya p dengan perkiraan yang memenuhi ketentuan berikut :
6 ≤ p ≤ 15
c. Tentukan panjang interval kelas dengan rumus panjang kelas sebagai berikut :
d. Tentukan batas bawah dan batas atas setiap interval kelas
e. Tentukan frekuensi pada masing-masing interval kelas dengan menggunakan sistem turus (tally)
Batas bawah interval kelas -1 biasanya diambil dari datum terkecil. Adapun datum terbesar harus termuat dalam interval kelas terakhir.
Contoh :
Misalnya data tertinggi badan 40 siswa SMP Negeri yang diukur sampai sentimeter terdekat adalah sebagai berikut :
160, 164, 168, 165, 169, 170, 160, 176, 150, 175, 149, 159, 160, 166, 150, 167, 168, 155, 159, 175, 147, 174, 154, 167, 150, 164, 176, 166, 148, 161, 170, 158, 151, 163, 158, 163, 170, 154, 156, 153
Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut
Data terbesar 176, sedangkan data terkecil 147 sehingga jangkuan = 176-174 = 2
Pilihlah banyaknya interval kelas, misalnya 6 panjang interval kelas (p) adalah :
Batas bawah interval ke-1 adalah 147 dan batas atasnya 151
Batas bawah interval ke-2 adalah 152 dan batas atasnya 156, dan seterusnya.
Dengan menggunakan sistem turus, diperoleh :
- Frekuensi interval ke-1 adalah 8
- Frekuensi interval ke-2 adalah 4 dan seterusnya
Dengan demikiandiperoleh tabel distribusi frekuensi seperti terlihat pada tabel 3.7
Tabel 3.7
Uji Kompetensi 4
1. Setiap hari, banyaknya pasien disebuah rumah sakit di catat kemudian di peroleh data sebagai berikut :
98 104 99 106 90 97
102 104 82 75 86 91
89 101 108 105 103 95
92 88 96 76 78 80
84 88 79 79 100 99
98 94 85 87 93 100
96 80 94 81
a. Tentukan jangkauannya
b. Jika banyaknya interval kelas 7 tentukan panjang setiap kelasnya
c. Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data diatas
2. Pada suatu hari, temperatur minimum beberapa daerah di Indonesia dicatat dalam derajat celcius hingga diperoleh data berikut :
12 21 23 14 17 5
18 20 28 19 16 19
11 35 6 10 15 22
24 26 7 27 20 21
8 11 13 28 18 22
26 24 9 10 8 6
17 29 21 27 20 21
10 22 15 16 24 17
a. Tentukan jangkuannya
b. Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut
Rangkuman :
Populasi adalah sama objek yangmenjadi sasaran pengamatan
Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil untuk dijadikan sasaran pengamatan
Metode penyajian data, diantaranya diagram batang, diagram garis, piktogram dan diagram lingkaran.
Mean adalah rata-rata dari sekumpulan data
Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data yang telah diurutkan
Modus adalah data yang paling banyak muncul pada sekumpulan data
Jangkauan intekuartil adalah selsih antara kuartil atas dan kuartil bawah.
Evaluasi 3
1. Tentukan populasi dan sampelnya dari beberapa penelitian berikut ini !
Seorang petani mempunyai 1 hektar ladang yang ditanami kacang tanah. Pada musim panen, petani tersebut ingin menjual kacang di ladangnya. Untuk mengetahui kualitas hasil panen, seorang calon pembeli mengambil beberapa rumpun kacang tanah dari beberapa lokasi yang berbeda diladang petani tersebut.
2. Berikut adalah data mengenai lama perjalanan (dalam menit) yang diperlukan oleh 40 siswa dari rumah ke sekolah/
20 20 25 30 15 10 10 5 5 10
25 30 20 15 10 10 15 20 25 30
15 10 15 20 25 25 20 30 15 5
5 20 20 25 15 25 15 10 15 10
a. Buatlah tabel sebaran frekuensi data tunggalnya !
b. Berapakah waktu perjalanan paling lama yang diperlukan siswa dari rumah ke sekolah ?
3. Data makanan favorit siswa suatu kelas adalah seperti pada tabel berikut :
a. Buatlah diagram batangnya dari data tersebut
b. Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut
c. Amati data pada tabel berikut



Tentukan :
a. Panjang dan banyaknya interval kelas
b. Batas bawah dan atas interval kelas
c. Tepi bawah kelas ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, ke-5, ke-6, dan ke-7
d. Tepi atas kelas ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, ke-5, ke-6 dan ke-7


BAB IV
PELUANG


Kompetensi Dasar
§ Menentukan ruang sampel suatu percobaan
§ Menentukan peluang suatu kejadian sederhana

A. Pengertian Peluang
Peluang suatu kejadian adalah ukuran kepastian akan terjadinya suatu kejadian. Beberapa istilah yang berkaitan dengan peluang antara lain :
§ Percobaan statistik atau percobaan acak adalah percobaan yang dapat diulang dan hasilnya tidak dapat dipastikan sebelumnya, tetapi hasilnya pasti salah satu anggota dari suatu himpunan tertentu.
§ Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan statistik.
§ Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel

Kejadian Acak
Pernahkah kalian memperhatikan sekumpulan ibu-ibu yang sedang arisan, seorang ibu mengundi nama-nama pemenang dengan menggunakan sebuah gelas. Nama pemenang menggunakan sebuah gelas. Nama pemenang yag akan keluar tidak dapat diprediksikan.
Uraian tersebut menggambarkan salah satu contoh kejadian acak.
Kejadian Sederhana
Sepanjang kartu bridge terdiri atas 13 kartu merah berga,bar hati, 13 kartu merah bergambar wajib, 13 kartu hitam bergambar sekop, dan 13 kartu hitam bergambar kriting.
Misalkan, sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge tersebut. Andaikan kartu yang terambil bergambar wajib, kejadian muncul kartu bergambar wajib pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena munculnya kartu bergambar wajib pasti berwarna merah. Berbeda jika kartu yang terambil berwarna merah. Kejadian munculnya kartu berwarna merah dinamakan kejadian bukan sederhana karena munculnya kartu berwarna merah belum tentu bergambar wajib, tetapi mungkin berga,bar hati.
Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian
Frekuensi relatif (fr) munculnya kejaian K dirumuskan sebagai berikut :
Contoh :
Pada pelemparan dadu sebanyak 100 kali, muncul muka dadu bernomor 1 sebanyak 16 kali. Tentukan frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 1.
Penyelesaian :
§ Banyak percobaan = 100
§ Banyak kejadian munculnya muka dadu bernomor 1 = 16
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu nomor 1 adalah 0,16
Peluang suatu kejadian dapat dihitung melalui pendekatan frekuensi relatif.
Titik dan ruang sampel dalam teori peluang
a. Pengertian titik sampel dan ruang sampel suatu kejadian
1) Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan
2) Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga kejadian yang mungkin
Contoh :
Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuah dadu
Penyelesaian :
Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalah munculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Dengan demikian
S = {1, 2, 3, 4, 5,6 } dan titik sampelnya 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.
b. Menyusun Ruang Sampel dengan cara Mendaftar
Pada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus, misalkan muncul sisi angka (A) pada mata uang ketiga. Kejadian ini dapat ditulis AGA. Kejadian lain yang mungkin dipelemparan tiga mata uang sekaligus adalah AAA, AGG, dan GGG. Jika uang sampelnya kolom tuliskan dengan cara mendaftar, diperoleh S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} sehingga n (S) = 8.
c. Menyusun Ruang Sampel dengan menggunakan diagram pohon
Untuk mata uang pertama kejadian yang mungkin adalah munculnya sisi angka (A) atau gambar (G). Diagram dapat kalian buat seperti gambar 4.1 (a)
Untuk mata uang kedua kejadian yang mungkin adalah sama. Diagram pohonnya tampak pada gambar 4.1 (b)
Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga sama. Diagram pohon kejadian untuk pelemparan tiga mata uang tampak pada gambar 4.2 (c). Berdasarkan diagram pohon tersebut, dapat ditentukan ruang sampelnya, yaitu S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}
d. Menyusun Ruang Sampel dengan cara membuat Tabel
Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya muncul muka dadu bernomor 2 pada dadu pertama dan muka dadu bernomor 3 pada dadu kedua. Kejadian ini dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan, yaitu (2,3).
Jika muncul muka dadu bernomor 5 pada dadu pertama dan muka dadu bernomor 1 pada dadu kedua, bagaimana menyatakan kejadian itu sebagai pasangan berurutan ?
Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut.
Tebal 4.1 Tabel Ruang Sampel
Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel sehingga n(S)=36
Kisaran Nilai Peluang
a. Rumus Peluang
Perhatikan kejadian pada pelemparan sebuah dadu. Hasil pelemparan yang mungkin adalah muncul muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 sehingga ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor genap adalah G = {2, 4, 6}, banyaknya anggota himpunan G atau kejadian G dinotasikan n(G), sehingga n(G) = 3.
Peluang munculnya setiap titik sampel dalam ruang sampel S sama, yaitu . Dengan demikian, peluang munculnya muka dadu bernomor genap adalah sebagai berikut
p (G) = + + =


p (G) juga dapat diperoleh dengan cara berikut :
p(G) =
Jika setiap anggota ruang sampel S memiliki peluang muncul yang sama maka peluang kejadian K yang memiliki anggota sebanyak n (K) didefinisikan sebagai berikut :
p(K) = , dengan K < S
Contoh :
Sebuah dadu dilemparkan. Hitunglah peluang munculnya muka dadu bernomor a. 2 b. Kurang dari 4 c. 7 d. 1,2,3,4,5,6
Penyelesaian
S = {1,2,3,4,5,6} maka n(S) = 6
a. Misalkan A kejadian munculnya muka dadu nomor 2 maka A = {2}, n{A}=1, dan p(A) =
b. Misalkan C kejadian munculnya muka dadu bernomor kurang dari 4 maka C = {1,2,3}, n(C) = 3 dan p(C) =
c. Misalkan D kejadian munculnya muka dadu nomor 7 D = {....}, n(D)=0, dan p(D) =
d. Misalkan E adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor 1,2,3,4, 5 atau 6 maka E = {1,2,3,4,5,6} atau n(E) = 6
Sehingga p(E) =
b. Nilai Peluang
1) Peluang suatu kejadian nilainya dari 0 sampai 1 ditulis 0 ≤ p(K) ≤ 1
2) Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi nilainya nol atau p(K) = 0 (kejadian terjadi nilainya nol atau yang mustahil)
3) Peluang suatu kejadian yang pasti terjadi, nilainya 1 atau p(K) = 1 (kejadian tersebut dinamakan kejadian nyata / pasti)
Jika kejadian < merupakan komplemen dari kejadian K maka p(K) + p(L) = 1 atau p(L) = 1 – p(K). Misalnya peluang hari ini hujan 0,3 maka peluang hari ini tidak hujan adalah 1 – 0,3 = 0,7

Contoh :
Dua puluh lima kartu diberi angka 1,2,3,4, ....., 25. Kartu tersebut dikocok. Kemudian diambil kartu secara acak (setiap pengambilan satu kartu, di kembalikan lagi). Berapa peluang terambilnya kartu berangka : a. Ganjil b. Kelipatan 3
Penyelesaian :
Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {1,2,3, ....., 25} sehingga n(S) = 25
a. Misalkan G kejadian terambilnya kartu berangka ganjil maka G = {1,3,5,7 ,9,11,13,14,17,19,21,23,25} sehingga n(G) = 13 peluang G adalah p(G) =
Jadi, peluang terambilnya kartu berangka ganjil adalah
b. Misalkan K adalah kejadian terambilnya kartu berangka kelipatan 3 maka K = {3,6,9,12,15,18,21,24} sehingga n(K) = 8.
Peluang K adalah p(K) =
Jadi, peluang terambilnya kartu dengan angka kelipatan tiga adalah

Uji Kompetensi 1
1. Sebuah uang logam dilemparkan keatas sebanyak empat kali. Diketahui salah satu hasil yang mungkin muncul adalah angka, angka, gambar dan gambar ditulis AAGG.
a. Susunlah ruang sampel dengan model diagram yang kalian sukai
b. Tentukan peluang munculnya paling sedikit
(i) dua angka (ii) tiga gambar
2. Dua buah dadu dilempar keatas sekaligus diketahui salah satu hasil yang mungkin adalah muncul permukaan angka 2 pada dadu pertama dan munculnya angka 3 pada dadu kedua ditulis (2,3)
Buatlah ruang sampel dengan cara membuat tabel
Tentukan peluang munculnya muka dadu :
(i) berjumlah 1
(ii) berjumlah 8
(iii) berjumlah 13
3. Tentukan ruang sampel peristiwa berikut :
a. Mengambil bola dari kotak yang berisi 3 bola merah, 2 bola putih, dan 1 bola hitam.
b. Mengambil kartu AS dari satu set kartu bridge
c. Memilih bilangan genap dari 20 bilangan bulat positif pertama
4. Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama. Sebuah hasil yang muncul muka dadu bernomor (2, A) artinya muncul muka permukaan uang 2 dan muncul angka pada permukaan uang.
a. Buatlah ruang sampel dengan menggunakan diagram pohon
b. Tentukan p(2,A), p(4,A), dan p(5,A)
c. Tentukan p (genap G) artinya kemungkinan munculnya nomor genap pada dadu dan munculnya gambar pada uang logam.
5. Tentukan peluang munculnya sekurang-kurangnya dua angka pada pelemparan 3 mata uang secara bersamaan.

B. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dari suatu kejadian ialah harapan banyaknya muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan.
Fh = p(K) x N
Dengan p(K) = peluang kejadian K
N = banyaknya percobaan
Contoh :
Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 36 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya dadu bernomor 3 ?
Banyaknya lemparan 36 kali
Fh = p(K) x 36
= x 36
= 6
Jadi frekuensi harapan muncul mata dadu bernomor 3 dari 36 kali pelemparan adalah 6 kali.
Jika hasil percobaan tersebut munculnya dadu bernomor 3 jauh dari harapan. Hal ini mungkin disebabkan berat pada setiap mata dadu tidak sama (dadu tidak homogen).


Uji Kompetensi 2
1. Dua buah dadu dilemparkan sekaligus. Sebuah hasil yang mungkin muncul adalah (3,4). Jika percobaan dilakukan sebanyak 250 pelemparan, berapakah harapan munculnya muka dadu.
a. (3,4)
b. Berjumlah 7
c. Bernomor sama
2. Peluang seorang siswa lulus ujian adalah 0,75 jika terdapat 600 siswa yang mengikuti ujian. Berapa orang yang diperkirakan akan lulus.
3. Sebuah dadu dan dua buah mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Kejadian yang mungkin muncul adalah (3, A, G). Jika percobaan dilakukan sebanyak 200 kali. Berapa kali harapan munculnya :
a. (3, A, G)
b. (ganjil, G, A)
c. (prima, A, A)
d. (genap, (G, G)
4. Diketahui bahwa peluang seorang penembak akan menembak tepat mengenai sasaran adalah 0,69. Diantara 100 orang penembak. Berapa orang yang diperkirakan menembak tepat mengenai sasaran ?
5. Sebuah uang logam salah satu mukanya diberi beban sehingga peluang munculnya gambar dua kali peluang munculnya angka. Jika uang tersebut dilemparkan 100 kali, berapakah frekuensi harapan :
a. Munculnya angka (A)
b. Munculnya gambar (G)

Rangkuman
Ruang sampul adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh pada suatu percobaan. Setiap anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.
Jika setiap anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama untuk muncul. Peluang kejadian K S yang memiliki anggota sebanyak n(K) idefinisikan sebagai berikut :
p(K) =
Kisaran nilai peluang munculnya kejadian K adalah sebagai berikut :
0 ≤ p (K) ≤ 1
Jika p(K) = 1, kejadian K pasti terjadi
Jika p(K) = 0, kejadian K tidak mungkin terjadi
Jika L komplemen dari kejadian K maka berlaku p(K) + p(L) = 1 atau
p(L) = 1 – p(K)
Frekuensi harapan munculnya kejadian K didefinisikan sebagai berikut :
Fh = p(K) x N

Evaluasi 4
Sebuah dadu dilambungkan satu kali.
Tentukan :
a. Ruang sampulnya
b. p(A) jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap
c. p(B) jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil
d. p(A) + p(B)
e. Apakah A komplemen B ? jelaskan jawabamu.
Jika dua buah dadu berisi enam dilambungkan satu kali, tentukan :
a. Ruang sampelnya
b. Peluang munculnya mata dadu dengan jumlah enam
c. Peluang munculnya mata dadu dengan jumlah dua belas
Dua keping mata uang logam dilambungkan bersama-sama sebanyak sepuluh kali, berapakah frekuensi harapan munculnya angka pada salah satu mata uang dan munculnya gambar pada mata uang yang lainnya ?
Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 30 kali. Berapakah frekuensi harapan munculnya mata dadu bilangan genap.
Peluang setiap siswa untuk terpilih menjadi duta Karya Ilmiah Remaja di sekolah adalah 0,025. Berapa banyak siswakah yang diperkirakan akan menjadi duta Karya Ilmiah Remaja di sekolahnya, jika banyaknya siswa yang mengikuti pemilihan duta Karya Ilmiah Remaja di sekolah tersebut adalah 720 siswa ?
DAFTAR PUSTAKA


BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama / Madrasah Tsanawiyah. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional.

Endi Nurgana. 1987. Teori Kemungkinan dan Statistika. Bandung : PPPGT.

Julius Hambali dkk. 1995. Pendidikan Matematika 1 Modul 1-9. Jakarta : Universitas Terbuka.

Negoro. St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Suherman. E dan Surjaya. J. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung : Wijaya Kusumah.

Tim Penyusun Kamus Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa. 1991. Kamus Bahasa Indonesia Edisi Kedua. Jakarta : Balai Pustaka.

Wahyudin Djumanta dan Dwi Susanti. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Bandung : Departemen Pendidikan Nasional.