materi matematika

NGATINI, S.Pd


MATEMATIKA
3 B

UNTUK KELAS IX SMP


PRAKATA


Buku matematika 3B ini membantu kalian belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yang mudah dipahami. Dengan harapan siswa akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.
Agar lebih mudah mempelajarinya buku ini disusun dari yang sederhana menuju yang lebih komplek. Beberapa hal dimulai dari yang konkrit menuju yang abstrak. Setelah mempelajari buku ini diharapkan agar siswa dapat belajar matematika secara tuntas dan total. Sehingga siswa memiliki penguasaan teori yang tinggi dan mantap untuk menjadi tumpuan dan dapat diandalkan memecahkan berbagai masalah.
Akhirnya semoga buku ini bermanfaat dan jangan segan untuk bertanya jika memasuki kesulitan, selamat belajar, semoga sukses.


Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ....................................................................................................... i
PRAKATA .................................................................................................................... ii
DAFTAR ISI ................................................................................................................. iii
BAB I PERANGKAT TAK SEBENARNYA....................................................... 1
A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulan ....................................... 1
1. Bilangan Rasional ........................................................................... 1
2. Pengertian bilangan rasional berpangkat bilangan
bulat positif..................................................................................... 1
3. Sifat bilangan rasional berpangkat bilangan
bulat positif .................................................................................... 2
4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat
Negatif dan Nol ............................................................................. 4
B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan ...................................................... 6
1. Bilangan Real.................................................................................. 6
2. Pengertian Bentuk Akar ................................................................. 7
3. Menyederhanakan Bentuk Akar...................................................... 7
4. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar ................................................ 8
5. Merasionalkan penyebut suatu pecahan .......................................... 9
6. Pangkat Pecahan ......................................................................... 11
BAB II BARISAN DAN DERET BILANGAN................................................... 18
A. Pola Bilangan ..................................................................................... 18
1. Pengertian Pola Bilangan .............................................................. 18
2. Pola bilangan pada segitiga pascal ................................................ 20
3. Menemukan Pola dari Perhitungan Bilangan................................... 21
B. Barisan dan Deret Bilangan ................................................................ 22
1. Barisan Bilangan .......................................................................... 22
2. Deret Bilangan ............................................................................. 23
3. Barisan Aritmatika ....................................................................... 23
4. Deret Aritmatika .......................................................................... 25
5. Barisan Geometri ......................................................................... 26
6. Deret Geometri ............................................................................ 27
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 32
BAB I
PERANGKAT TAK SEBENARNYA

Pada bab ini kalian akan diajak untuk memahami sifat0sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana dengan cara mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar.
A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulan
1. Bilangan Rasional
Definisi 1.1
Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0.
Bilangan merupakan bilangan rasional karena memenuhi bentuk seperti pada definisi 1.1
2. Pengertian bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif
Definisi 1.2
Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif perkalian berulang n faktor dari a ialah ditulis
Pada definisi 1.2, disebut bilangan berpangkat dengan a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat (eksponen).

Contoh :
Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitunglah.
a. 73 c. -(34)
b. (-3)4 d.
Penyelesaian
a. 73 = 7 x 7 x 7 = 49 x 7 = 343
b. (-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 9 x 9 = 81
c. -(34) = - ( 3 x 3 x 3 x 3 ) = - (9 x 9) = - 81
d.
3. Sifat bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif
a. Sifat perkalian bilangan berpangkat
Sifat 1.1
Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka
am x an = am x n

Contoh :
a. 32 + 33 + 32+3 = 35
b. (-2)4 x (-2)5 = (-2)4+5 = (-2)9
c. 72 x 34 tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokoknya tidak sama.
d. 3y2 x y3 = 3y2+3 = 3y5, dengan y = bilangan rasional
b. Sifat pembagian bilangan berpangkat
Sifat 1.2
Jika a bilangan rasional , a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat positf maka

Contoh
a)
b)
c)
c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Sifat 1.3
Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positf maka



Contoh :
a)
b)
c)
d. Sifat Perpangkatan dari bentuk perkalian
Sifat 1.4
Jika n bilangan bulat positf dan a, b bilangan rasional maka

Contoh :
a)
b)
c)
e. Serta perpangkatan dari bentuk pembagian
Sifat 1.5
Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat positif maka

Contoh :
1)
2)
3)





f. Sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat
Sifat 1.6
Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka

Sifat 1.7
Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka
Pam – qan = an (Pam-n – q)

Contoh :
1)

2)

3)


4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Negatif dan Nol
a. Pengertian pangkat bilangan bulat negatif
Untuk bilangan berpangkat n, dengan n adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut :
, a ≠ 0
Definisi 1.3
Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat positif maka
Contoh :
Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pengkat positif
a) 5-2
b) 2-3
Penyelesaian
a) 5-2 =
b) 2-3 =
b. Pengertian pangkat nol
Definisi 1.4
an = 1, dengan a bilangan rasional a ≠ 0
Contoh :
Hitunglah bentuk perpangkatan bilangan rasional berikut :
1)
2)
3)
Penyelesaian
1)
2)
3)

Uji Kompetensi 1
1. Hitunglah
a. (6 x 3)7
b. (-a5 b5)3
c. (a3)2 : (-54 a3)5
d.
2. Hitunglah
a.
b.
3. Hitunglah dan nyatakan
hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana
4. Sederhanakanlah
a. 2 x 85 + 5 x 86
b. 2 x 75 + 3 x 74
c. 3 x (-5)6 – 2 x (-5)5
d. 5 x 113 – 7 x 114
5. Sebuah penampungan air berbentuk kubus dengan panjang rusuk 1,5 x 103 cm. Berapa liter volume penampungnya air tersebut ?

B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
1. Bilangan Real
A
B
C
1
1





Gambar 1.1
Perhatikan gambar 1.1
Gambar tersebut memperlihatkan sebuah segitiga siku-siku istimewa dengan besar sudut lancip 450 dan panjang sisi siku-sikunya 1 satuan panjang.
Panjang AC dapat ditentukan dengan menggunakan dalil pythagoras seperti berikut :
(AC)2 = (AB)2 + BC2
= 12 + 12
= 2
AC =
Jadi panjang sisi AC adalah satuan panjang.
Amati bilangan tersebut dengan menggunakan kalkulator, akan diperoleh nilai = 1,414213562 ...
Apakah merupakan bilanganrasional ? coba kalian cari nilai-nilai a dan b agar = , dalam hal ini a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Ternyata, tidak ada nilai a dan b yang memenuhi = . Sehingga bukan bilangan rasional. Jadi merupakan bilangan irasional gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional merupakan himpunan bilangan real.
2. Pengertian Bentuk Akar
Definisi 1.5

Contoh :
1) Misalkan, a = 2 ( a > 0)
Nilai =
2) Misalkan, a = -2 ( a < 0 )
Nilai =
Sekarang adakah akar pangkat yang tidak memenuhi ?
Akar pangkat bilangan yang tidak memenuhi definisi 1.5 dinamakan bentuk akar seperti
Bentuk akar tersebut merupakan bilangan irasional.
3. Menyederhanakan Bentuk Akar
Sebuah bantuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan, dengan salah satu akar pangkat bilangan memenuhi definisi 1.5. Amati dan pelajari contoh berikut :
Berdasarkan perhatian tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut ?
Sifat 1.8
Dengan a dan b adalah bilangan rasional positif


Contoh :
1)
2)
4. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar
a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Sifat 1.9
Dengan a, b, c adalah bilangan rasional dan c ≥ 0

Contoh :
1)

2) (tidak dapat dijumlahkan karena tidak memenuhi aturan penjumlahan bentuk akar
b. Perkalian Bentuk Akar
Sifat 1.10
Dengan a, b, c, d adalah bilangan rasional, b ≥ 0, dan d ≥ 0

Contoh :
Sederhanakan bentuk – bentuk berikut
a)
b)
Penyelesaian
a)



b)


c. Pembagian Bentuk Akar
Sifat 1.11
Dengan a dan b adalah bilangan rasional, a ≥ 0, dan b > 0

Contoh :
a)
b)
5. Merasionalkan penyebut suatu pecahan
Berikut ini perkalian bentuk akar dengan pasangan sekawannya yang menghasilkan bilangan rasional.
a.
b.
c.
Dengan b, a2 – b, dan b – d adalah bilangan rasional.
Sampai saat ini kalian telah mempelajari perkalian penyebut pecahan bentuk akar dengan pasangan sekawannya sehingga diperoleh penyebut bilangan rasional. Sekarang kalian akan mempelajari bagaimana penerapannya dalam merasionalkan penyebut dari pecahan bentuk akar, secara umum, pecahan bentuk akar yang dapat dirasionalkan penyebutnya adalah :
Pecahan tersebut masing-masing dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawan dari penyebutnya, yaitu sebagai berikut :
a.

b.


c.

d.

e.

Contoh :
Sederhanakan penyebut pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya
a.
b.
Penyelesaian
a.
b.




6. Pangkat Pecahan
9n = 3, ini berarti 9 dipangkatkan n sama dengan 3 selain itu, 9n = 32 dapat juga ditulis dalam bentuk (32)n = 3 x 32n = 31.
Sama artinya dengan = 3
Pada bentuk , bilangan adalah eksponen pecahan.
Bilangan dinamakan bilangan berpangkat pecahan. Sebelumnya kalian telah mengetahui bahwa dan = 3 jadi = 3
Secara umum, jika an = p dengan a, p adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat, dengan n > 0 maka a =
Definisi (dibaca “ adalah akar pangkat n dari p”). Pada definisi tersebut berlaku ketentuan berikut :
(i) p merupakan bilangan real positif dari nol untuk n bilangan genap.
(ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil.
Contoh :
Jika 125k = 5 maka
(53)k = 5 Û 53k = 51 Û 3k = 1 Û k =
Jadi
Dengan menggunakan pengembangan sifat 1.3 kalian dapat menentukan hubungan antara akar pangkat suatu bilangan dan bilangan berpangkat pecahan seperti berikut :
adalah akar pangkat n dari p atau di tuliskan
disebut bilangan berpangkat pecahan pada berlaku ketentuan berikut
(i) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil
Secara umum, untuk bilangan berpangkat pecahan berlaku sifat berikut
Sifat 1.12
Sifat 1.13

Berdasarkan sifat 1.12 dan 1.13 terlihat bahwa
Contoh :
1) Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut
a.
b.
Penyelesaian
a.
b.

2) Ubahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar
a.
b.
c.
Penyelesaian
a.
b.
c.
3) Ubahlah bentuk akar berikut menjadi pangkat pecahan
a.
b.
Penyelesaian
a.
b.
Uji Kompetensi 2
1. Hitunglah soal-soal berikut dengan dua cara yang telah kamu ketahui !
a. ( 6 x 3 )7
b. (-a5 b5)3
c. (a2)3 (-2b5)5
d. (5a3)5 : (-54 a3)5
e.
2. Ubahlah bentuk-bentuk pangkat negatif berikut ke dalam bentuk pangkat positif
a.
b.
3. Sederhanakan pecahan bentuk akar berikut dengan merasionalkan penyebutnya
a.
b.
c.
d.
4. Nyatakan soal-soal berikut dalam bentuk akar yang paling sederhana
a.
b.
5. Sederhanakanlah soal-soal berikut dan nyatakan hasilnya dalam bentuk bilangan berpangkat rasional positif
a.
b.
c.
d.

Rangkuman
1. Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0
2. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif maka
3. Jika a adalah bilangan rasional, dengan a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat positif maka dengan m > n
4. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif maka
5. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m ≥ n maka pan + qam = an (p + q am-n )
6. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m ≥ n maka

Evaluasi 1
1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
2. Nyatakanlah bentuk-bentuk pangkat berikut kedalam bentuk akar
a.
b.
c.
d.
e.
3. Nyatakan bentuk-bentuk pangkat berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
4. Tentukan nilai dari bentuk-bentuk pangkat berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
5. Hitunglah bentuk-bentuk bilangan berpangkat berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
6. Rasionalkan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
7. Rasioanalkan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
8. Rasioanalkan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
9. Rasioanalkan bentuk-bentuk akar berikut !
a.
b.
c.
d.
e.
10. Sederhanakan bentuk a2 – b2 untuk
a.
b.


BAB II
BARISAN DAN DERET
BILANGAN


Pada bab ini, kalian akan diajak untuk memahami barisan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri, menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.
A. Pola Bilangan
Suatu pertunjukan di dalam gedung, mempunyai 40 tempat duduk pada barisan paling depan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak dari pada baris di depannya.
Apabila kalian tuliskan banyaknya tempat duduk pada setiap baris, diperoleh tabel sebagai berikut :
Baris ke
1
2
3
4
5
.....
20
Banyak kursi
40
44
48
52
56
.....
116
Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, .... 116. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu kumpulan (himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiap suku berikutnya di peroleh dari suku sebelumnya ditambah 4. contoh lain bilangan-bilangan memiliki pola adalah nomor rumah di jalan raya atau diperumahanan. Rumah-rumah disebelah kiri bernomor 1, 3, 5, 7, 9, ...., 87. Adapun rumah-rumah di sebelah kanan bernomor 2, 4, 6, 8, ...., 88.
Amati barisan bilangan 1, 3, 5, ... , 87 dan juga barisan bilangan 2, 4, 6, ...., 88
Kedua barisan bilangan tersebut memiliki pola dengan setiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya di tambah 2.
1. Pengertian Pola Bilangan
Jika kalian amati, anggota-anggota himpunan bilangan yang telah dipelajari, diurutkan dengan suatu aturan tertentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebut membentuk suatu barisan.
Suatu barisan bilangan dapat ditunjukan dengan pola-pola, untuk itu pelajarilah barisan bilangan berikut ini.
a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9, ... disebut barisan bilangan bilangan ganjil.
Pola barisan ini dapat dilihat pada gambar 2.1
b. Barisan 2, 4, 6, 8, ...
Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap
Polanya dapat dilihat pada gambar 2.2
c. Amati gambar 2.3 berikut
Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga.
d. Amati pola bilangan pada gambar 2.4 pola bilangan pada gambar 2.4 disebut pola bilangan persegi. Mengapa ?. Diskusikan dengan temanmu.
Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut :
1 = 1 atau 12 = 1
4 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5 atau 32 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7



e. Pola Bilangan persegi panjang diantaranya dapat kalian gambar 2.5
Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut
2 = 1 x 2
6 = 2 x 3
12 = 3 x 4
20 = 4 x 5
Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegi panjang? Jelaskan.
2. Pola bilangan pada segitiga pascal
Orang yang pertama kali menemukan susunan bilangan yang berbentuk segitiga adalah Blaise pascal. Untuk mengabadikan namanya, hasil karyanya tersebut kemudian disebut segitiga pascal. Adapun bentuk dari bilangan pada segitiga itu tampak dalam gambar 2.6
Jika kalian amati dengan cermat, bilangan-bilangan yang terdapat pada segitiga pascal memiliki pola tertentu, yaitu dua bilangan yang berdekatan dijumlahkan untuk mendapatkan bilangan pada baris selanjutnya.
Sekarang, amati bilangan-bilangan yang terdapat pada sepanjang garis a dan b pada gambar 2.6. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu barisan dengan dengan aturan berikut.

1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Dengan demikian, barisan 1, 3, 6, 10, .... merupakan barisan bilangan pada segitiga pascal.
Segitiga pascal dapat digunakan untuk menentukan koefisien pada suku banyak (x + y)n dengan n bilangan asli.
Misalnya :
(x + y)1 = 1x + 1y = x + y
(x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 = x3 + 2xy + y2
(x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y2 = x3 + 3x2 + 3xy2 + y3
(x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
3. Menemukan Pola dari Perhitungan Bilangan
Pada bagian 1, kalian telah mengetahui bahwa jumlah bilangan-bilangan ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjil yang pertama) memiliki pola tertentu, yaitu :
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42 dan seterusnya
Jika kalian amati, akan diperoleh :
a. Jumlah dua bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 2,
b. Jumlah tiga bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 3,
c. Jumlah empat bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 4, dan seterusnya.
Sekarang amatilah pola bilangan dari perhitungan berikut ini :
22 – 12 = 4 – 1 = 3 = 2 + 1
32 – 22 = 9 – 4 = 5 = 3 + 2
42 – 32 = 16 – 9 = 7 = 4 + 3
52 – 42 = 25 – 16 = 9 = 5 + 4 dan seterusnya
Pola bilangan ini menunjukkan bahwa selisih jumlah dari bilangan berurutan sama dengan jumlah dari bilangan berurutan tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara aljabar berikut ini :

Misalkan, bilangan yang berurutan ini adalah
a dan a +1 maka
(a + 1)2 – a2 = a2 + 2a + 1 = a2
= 2a2 + 1 = (a + 1) + a
Pola bilangan tersebut selalu benar untuk setiap bilangan asli

Uji Kompetensi 1
1. Tentukan tiga suku berikutnya dari pola bilangan 15, 17, 19, 21, 23, ...
2. Hitunglah jumlah dari bilangan-bilangan berikut !
a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
3. Gambarlah pola dengan menggunakan barisan bilangan berikut !
a. ( 1x 4), (2 x 5), (3 x 6), (4 x 7), ....
b. (2 x 1), (2 x 2), (2 x 3), (2 x 4), ...
c. (2 + 1), (3 + 2), (4 + 3), (5 + 4), ....
4. Gunakan segitiga pascal untuk menguraikan bentuk perpangkatan berikut
a. (x + y)5
b. (x + y)6
c. (x – y)3
d. (x – y)4
5. Berapa jumlah dari
a. Sembilan bilangan ganjil yang pertama
b. Sebelas bilangan ganjil yang pertama
c. Lima belas bilangan ganjil yang pertama
d. Dua puluh dua bilangan ganjil yang pertama

B. Barisan dan Deret Bilangan
1. Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah bilang-bilangan yang disusun dengan aturan tertentu. Setiap bilangan yang terdapat dalam suatu barisan bilangan dinamakan suku barisan. Suku barisan ditulis dengan huruf U dan dibawah huruf U diberi indeks n, suku ke-n dari suatu barisan biasa dilambangkan dengan Un dengan n bilangan asli.
Contoh : barisan 1, 3, 5, 7, 9, ... dapat diilustrasikan sebagai berikut :

Pada ilustrasi tersebut, aturan pembentukan barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... adalah ditambah dua
Contoh :
Tentukan U1, U3 dan aturan pembentukan barisan bilangan 1, 2, 4, 8, ....
Penyelesaian :
Pada ilustrasi tersebut jelas bahwa aturan pembentukan barisan 1, 2, 4, 8, ... adalah dikali 2.
2. Deret Bilangan
Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan. Deret dinotasikan dengan Sn. Dengan demikian, jika kalian memiliki barisan bilangan U1, U2, U3, ...., Un maka deret dari barisan tersebut adalah Sn = U1 + U2 + U3 + ...., Un. Seperti halnya barisan, deretpun dapat kalian bagi menjadii dua macam, yaitu deret aritmatika dan deret geometri
3. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika (sering juga disebut barisan hitung) adalah suatu barisan yang diperoleh dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembeda dan dinotasikan b. Pembeda suatu barisan aritmatika dapat kalian tentukan dengan cara mencari selisih dua suku yang berurutan.
Pada aritmatika U1, U2, U3, ...., Un berlaku

b = U2 – U1 = U3 – U2 – U3 = ......... = Un – Un-1 dengan
b adalah pembeda dan n bilangan asli
Barisan aritmatika dapat dituliskan dalam bentuk seperti berikut :
Rumus untuk menentukan suku ke-n dari suatu aritmatika adalah sebagai berikut :
Un = a + ( n – 1) b
Dengan Un = suku ke-n, n bilangan asli
a = Suku pertama (U1)
b = Pembeda

Dengan melihat nilai pembeda (b) kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun.
Bila b > 0 maka barisan aritmatika naik
Bila b < 0 maka barisan aritmatika turun

Contoh :
1. Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmatika berikut !
a. 3, 7, 11, 15, ...
b. 17, 15, 13, 11, ....
Penyelesaian
a. Diketahui a = 3, U2 = 7, b = U2 – U1 = 7 – 3 = 4
Sehingga, U21 = a + ( 21 – 1) b
= a + 20 b
= 3 + 20 (4)
= 3 + 80
= 83
b. Diketahui a = 17, U2 = 15, b = U2 – U1 = 15 – 17 = - 2
Sehingga, U21 = a + (21 – 1) b
= a + 20 b
= 17 + 20 (-2)
= 17 – 40
= - 23
2. Diketahui suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah 6. Adapun suku kelimanya adalah 18. Tentukan pembeda barisan aritmatika tersebut!
Penyelesaian
Diketahui a = 6, dan U5 = 18
Un = a + (n – 1) b maka
U5 = a + (5 – 1) b
18 = 6 + 4b
Û 4b = 18 – 6
= 12
Û b =
Û b = 3
Jadi, pembeda dari deret tersebut adalah 3
4. Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Untuk mencari nilai Sn dari suatu deret aritmatika, kalian dapat memilih satu diantara dua rumus berikut :
§
§
Dengan Un = suku ke-n, n bilangan asli
a = suku pertama (U1)
b = pembeda
Contoh :
Misalnya diberikan deret aritmatika 3 + 7 + 11 + 15 + ....
a. Tentukan U34 dari deret tersebut !
b. Tentukan S16 dari deret tersebut !
c. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau turun ?
Penyelesaian
a. Suku pertama dan pembeda deret tersebut yaitu a = 3 dan b = 4
Sehingga
Un = a + (n – 1) b
U34 = a + (34 – 1) b
= a + 33b
= 3 + 33 (4)
= 3 + 132
= 135
Jadi, U34 dari deret tersebut adalah 135
b. Sn =
S16 =
=
=
= 8 (6 + 60)
= 8 (66)
= 528
c. Oleh karena pembeda pada deret tersebut positif (b = 4) maka deret tersebut termasuk deret naik.
5. Barisan Geometri
Barisan geometri (sering juga disebut barisan ukur) adalah suatu barisan yang diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio) dan dinotasikan r.
Pada barisan geometri U1, U2, U3, ...., Un-1
Un berlaku
Dengan r adalah pembanding dan n bilangan asli
Barisan geometri dapat dituliskan suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah sebagai berikut :
Dengan Un = suku ke-n, n bilangan asli
a = suku pertama (U1)
r = pembanding
Berdasarkan nilai rasio (r), kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun. Bila r > 1 maka barisan geometri naik. Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Contoh :
1. Tentukan suku ke-6 dari barisan 2, 6, 18, ...
Penyelesaian
Diketahui a = 2 dan U2 = 6
Dengan demikian
Un = arn-1
Û U6 = ar6-1
= ar5
= 2 . 35
= 2 . 243
= 468
Jadi, suku ke-6 dari barisan 2, 6, 18, ... adalah 468
2. Tentukan pembanding dari suatu barisan geometri apabila diketahui a = 27 dan U4 = 1
Penyelesaian
Diketahui a = 27 dan U4 = 1
Un = arn-1
Û U4 = ar4-1 = ar3
Û 1 = 27r3
Û r3 =
Û r =
Jadi, pembanding dari barisan geometri tersebut adalah
6. Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri. Untuk mencari nilai Sn dari suatu deret geometri, kalian dapat menggunakan rumus sebagai berikut :
Jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut “
§
§
Dengan a adalah suku pertama (U1) dan r adalah pembanding.

Contoh :
1. Diketahui deret geometri 3 + 9 + 27 + ...
a. Tentukan suku ke-6 dari deret tersebut !
b. Tentukan S6 dari deret tersebut !
c. Apakah deret tersebut merupakan deret geometri naik atau geometri turun ?
Penyelesaian
a. Dari deret tersebut, kalian peroleh a = 3 dan
Un = arn-1
U6 = ar6-1
= ar5
= 3 (3)5
= 3 (243)
= 729
b. Oleh karena r > 1 maka Sn =
Sn =
S6 =
=
=
=
= 1.092
c. Deret tersebut merupakan deret geometri naik karena r > 1
2. Tentukan jumlah empat suku pertama dari suatu deret dengan suku pertama 328 dan U4 = 41.
Penyelesaian
Un = arn-1
Û U4 = arn-1
Û 41 = 328 r3
Û = r3
Û r3 =
Û r =
Oleh karena 0 < r < 1 maka Sn =
Sn =
S4 =
=
=
=
= 615
Jadi, jumlah empat suku pertama dari deret tersebut adalah 615.

Uji Kompetensi 2
1. Tentukan suku ke-54 dari barisan bilangan berikut
a. 7, 9, 11, 13, ...
b. 86, 83, 80, 77, ...
2. Misalnya, suku pertama suatu barisan aritmatika adalah enam. Adapun suku kelima barisan tersebut adalah 22. Tentukan pembeda barisan aritmatika tersebut !
3. a. Suku pertama dan suku keenam dari suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 34 dan 19. Tentukanlah suku ke-11 dari barisan tersebut !
b. Tentukanlah U26 dari suatu barisan aritmatika apabila diketahui U1 = - 54 dan U4 = - 42
c. Tentukanlah suku ke-16 dari suatu barisan aritmatika apabila diketahui a = 15 dan U6 = 30
4. Tentukan pembanding dan suku ke-5 dari barisan-barisan berikut !
a. 64, 16, 4, 1, ...
b. 2, 6, 18, 54, ....
c. 81, 27, 9, 3, ....
5. Misalnya diberikan deret aritmatika 48 + 45 + 42 + 39 + ...
a. Tentukanlah U26 dari deret tersebut !
b. Tentukan S18 dan S27 dari deret tersebut !
c. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau deret turun !
6. Tentukan pembanding dan suku-suku ke-10 dari barisan geometri berikut jika diketahui
a. 88, 44, 22, 11, ...
b. a = 9 dan U4 = 243
c. U3 = 18 dan U6 = 486

Rangkuman
1. Beberapa pola barisan, diantaranya adalah sebagai berikut :
a. Barisan bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, ...
b. Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, ....
c. Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, ....
d. Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, ...
2. Barisan bilangan berpola diperoleh dengan mengurutkan bilangan-bilangan dengan aturan tertentu, dan tiap – tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebut suku dari barisan itu.
3. Rumus suku ke-n barisan aritmatika
Un = a + (n – 1) b
4. Jumlah n suku pertama deret aritmatika

5. Rumus suku ke-n barisan geometri
Un = arn-1
6. Jumlah n suku pertama deret geometri

Evaluasi 2
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !
a. 4, 6, 8, 10, ....
b. 3, 6, 9, 12, ....
c. 1, 5, 9, 13, ....
d. 1,
2. Tentukan hasil dari (x + y)6 kemudian, tentukan
a. Koefisien suku ke-2
b. Koefisien suku ke-5
c. Jumlah koefisien suku ke-2 dan suku ke-4
3. Selama 5 minggu, Budi berlatih lari untuk persiapan lomba lari marathon. Setiap minggu ia harus menempuh jarak dua kali lebih jauh dari pada minggu sebelumnya. Jarak yang ditempuh Budi pada minggu ke-3 adalah 4 km. Tentukan jarak total yang ditempuh Budi selama lima minggu latihan tersebut.
4. Untuk mengisi lowongan pekerjaan, suatu perusahaan melakukan seleksi dalam beberapa tahap. Pada tahap pertama, seleksi diikuti oleh 240 pelamar. Pada tahap kedua, seleksi diikuti oleh 200 pelamar. Adapun pada tahap ketiga, seleksi diikuti oleh 160 pelamar. Tentukan banyaknya pelamar yang akan mengikuti seleksi tahap keempat dan tahap kelima !

DAFTAR PUSTAKA


BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama / Madrasah Tsanawiyah. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional.

Julius Hambali dkk. 1995. Pendidikan Matematika 1 Modul 1-9. Jakarta : Universitas Terbuka.

Marsigit. 2009. Mathematics For Yunior High School. Jakarta : Yudhistira

Negoro. St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Suherman. E dan Surjaya. J. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung : Wijaya Kusumah.

Tim Penyusun Kamus Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa. 1991. Kamus Bahasa Indonesia Edisi Kedua. Jakarta : Balai Pustaka.

Wahyudin Djumanta dan Dwi Susanti. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Bandung : Departemen Pendidikan Nasional.