NGATINI, S.Pd.




MATEMATIKA I B

Untuk kelas VII SMP
Semester Pertama

























PRAKATA

Buku matematika I B ini membantumu belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari. Buku ini disusun dengan menggunakan bahasa yang mudah dipahami. Dengan harapan siswa akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.
Agar lebih mudah mempelajarinya, buku ini disusun dari yang sederhana menuju yang lebih kompleks. Beberapa hal dimulai dari yang konkret menuju yang abstrak.
Setelah mempelajari buku ini diharapkan agar siswa dapat belajar matematika secara tuntas dan total, sehingga siswa memiliki penguasaan teori yang tinggi dan mantap untuk menjadi tumpuan dan dapat diandalkan memecahkan berbagai masalah.
Akhirnya, semoga buku ini bermanfaat dan jangan segan untuk bertanya jika menemui kesulitan. Selamat belajar, semoga sukses.


Penulis.





















DAFTAR ISI



































BAB I
HIMPUNAN
Kompetensi Dasar
• Menentukan himpunan bagian dan menyatakan himpunan dengan diagram Venn

Tujuan pembelajaran, setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat:
• Menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpuanan dan mendata anggotanya
• Menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan
• Menyatakan notasi himpunan
• Mengenal himpunan kosong dan notasinya
• Menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan
• Mengenal pengertian himpunan semesta, serta dapat menyebutkan anggotanya
• Menjelaskan pengertian irisan dan gabungan dua himpunan
• Menjelaskan kurang (defference) suatu himpunan
• Menjelaskan komplemen dari suatu himpunan
• Menyajikan gabungan atau irisan dua himpunan dengan diagram Venn
• Menyajikan kurang (defference) suatu himpunan dari himpunan lainnya dengan diagram Venn
• Menyajikan komplemen suatu himpunan dengan diagram Venn
• Menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dan konsep himpunan

A. Himpunan
1. Pengertian Himpunan
Kata kelompok, persatuan, ikatan dan kumpulan mempunyai arti yang sama. Kita menggunakan kata himpunan untuk menggantikan kumpulan.
Kumpulan hewan berkaki empat antara lain kerbau, kambing dan kuda. Kumpulan hewan berkaki empat adalah suatu himpunan, karena setiap disebut hewan berkaki empat, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan tersebut.
Kumpulan nama hari merupakan himpunan, sebab anggota-anggotanya dapat kita sebutkan dengan jelas, yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jum’at, sabtu dan minggu.
Himpunan adalah kumpulan benda atau obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui obyek yang termasuk dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Sekarang perhatikan kumpulan berikut ini:
a. Kumpulan batu besar
b. Kumpulan bunga indah
Kumpulan batu besar tidak dapat disebut himpunan karena batu besar menurut seseorang belum tentu besar menurut orang lain. Dengan kata lain kumpulan batu besar tidak dapat didefinisikan dengan jelas.
Demikian halnya dengan kumpulan bunag indah. Bunga indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain. Jadi kumpulan bunga indah bukan termasuk himpunan

2. Notasi dan Anggota Himpunan
Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ....Z. Adapun ditulis dengan menggunakan kurung kurawal buka dan kurung kurawal tutup, ditulis { }.
Contoh
Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan kurung kurawal
1. A adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 5
2. B adalah himpunan huruf-huruf vokal dalam abjad
Jawab
1. A adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 5. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 5 adalah : 0, 1, 2, 3, 4
Jadi A = {0, 1, 2, 3, 4}
2. B adalah himpunan huruf-huruf vokal dalam abjad. anggota himpunan huruf-huruf vokal dalam abjad adalah a, e, i, o, u
Jadi B = { a, e, i, o, u }
Anggota suatu himpunan adalah setiap benda atau obyek yang termasuk di dalam himpunan itu. Untuk mengatakan bahwa suatu benda atau obyek adalah anggota himpunan, digunakan lambang dan bukan anggota himpunan digunakan lambang .
Contoh
P adalah himpunan lima bilangan prima yang pertama. Anggota-anggota himpunan P yaitu 2, 3, 5, 7 dan 11. Banyak anggota P ada 5
Jadi, 3 adalah anggota himpunan P ditulis 3 P, dan 12 bukan anggota himpunan P, ditulis 12 P.
Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n, jika P = {2, 3, 5, 7, 11} maka n (P) = 5.
Banyaknya anggota himpunan P dinyatakan dengan n(P).




Uji Kompetensi 1

Kerjakan soal-soal berikut ini!
1. Diantara kelompok atau kumpulan berikut, tentukan yang termasuk himpunan dan bukan himpunan, berikan alasan yang mendukung
a. Kumpulan lukisan indah
b. Kumpulan bilangan prima kurang dari 10
c. Kumpulan baju bagus
d. Kumpulan buah-buahan enak
e. Kelompok binatang serangga
f. Kelompok bilangan besar
2. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan kurung kurawal
a. A adalah himpunan nama-nama bulan yang dimulai dengan huruf M
b. B adalah himpunan empat bilangan cacah yang pertama
c. P adalah himpunan nama-nama hari dalam seminggu
d. M adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 15
3. Sebutkan anggota dan bulan anggota himpunan berikut, tulislah dengan notasi keanggotaan
a. Himpunan nama-nama bunga
b. Himpunan satuan panjang
c. Himpunan warna rambu-rambu lalu lintas
4. Dikatakan A = {1, 2, 3, 4} B ={5, 10, 15, ..., 50} Salin dan isilah dengan lambang atau pada titik-titik berikut sehingga menjadi kalimat yang benar
a. 3 ......... A
b. 2 .......... A
c. 5 .......... B
d. 10 .......... A
e. 15 .......... A
f. 20 .......... B
5. Nyatakan benar atau salah setiap kalimat berikut ini
a. 3 {1, 2, 3, 4, 5}
b. 4 {2, 4, 6, 8}
c. 7 {bilangan prima}
d. 5 {255}



3. Menyatakan Suatu Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu:
a. Dengan kata-kata
Dengan cara menyebutkan semua syarat atau sifat keanggotaannya
Contoh
B adalah himpunan lima bilangan cacah yang pertama, ditulis B = {lima bilangan cacah yang pertama}.
b. Dengan notasi pembentuk himpunan
Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat atau sifat keanggotaannya. Tetapi anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.
Contoh
B = {lima bilangan cacah yang pertama}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis B = {x |0 ≤ x ≤ 4, dan x bilangan cacah}.
c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya
Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, data anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh
B = {0, 1, 2, 3, 4}
Contoh
A adalah himpunan bilangan genap antara 20 dan 50. Nyatakan A dengan
a. kata-kata
b. notasi pembentuk himpunan
c. mendaftar anggota-anggotanya
Jawab
A adalah himpunan bilangan genap antara 20 dan 50
a. Dinyatakan dengan kata-kata
A = {bilangan genap antara 20 dan 50}
b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan
A = {x| 20 < x <50, x bilangan genap}
c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya
A = {22, 24, 26, ..., 48}

4. Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga
Perhatikan himpunan-himpunan berikut!
(i) H = {i, m, t, a}
(ii) C = {1, 2, 3, 4}
(iii) D = {0, 1, 2, 3, ...}
(iv) B = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Berapa banyak anggota himpunan H? Sebutkan!
Berapa banyak anggota himpunan C? Sebutkan!
Anggota himpunan H dan C dapat disebutkan seluruhnya hingga berakhir. Himpunan semacam itu disebut himpunan berhingga. Banyak anggota himpunan H ditulis dengan lambang n(H), sedangkan anggota himpunan D dan B tidak berakhir. Himpunan ini disebut himpunan tak berhingga.
Contoh
Apakah himpunan berikut ini merupakan himpunan berhingga atau tak berhingga?
a. A = {107}
b. B = {e, f, g, h}
c. C = {1, 2, 3, ...}
Jawab
a. A adalah himpunan berhingga dengan n(A) = 1
b. B adalah himpunan berhingga dengan n(B) = 4
c. C adalah himpunan tak berhingga


Uji Kompetensi 2

Kerjakan soal-soal berikut ini!
1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
a. A adalah himpunan huruf pembentuk kata PURWODADI
b. B adalah himpunan nama bulan yang berumur 31 hari
c. C adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 16
d. D adalah himpunan lima huruf pertama dalam abjad
2. Selidikilah himpunan-himpunan berikut berhingga atau tak berhingga, berilah alasannya.
a. P adalah himpunan bilangan asli yang habis dibagi 4
b. Q adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 1000000
c. R adalah himpunan bilangan bulat kurang dari -2
d. S adalah himpunan bangundatar dalam matematika
3. Salin dan isilah titik-titik pada kalimat berikut sehingga menjadi kalimat yang benar
a. A = {bilangan prima kurang dari 35}
maka n(A) = .....
b. B = {huruf pembentuk kata GROBOGAN}
maka n(B) = .....
c. C = {faktor dari 20}
maka n(C) = .....
d. D = {faktor persekutuan dari 12 dan 30}
maka n(D) = .....

B. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta
1. Himpunan kosong dan himpunan nol
Jika P adalah himpunan persegi panjang yang mempunyai empat buah sisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisi persegi panjang adalah empat.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dan diberi notasi { } atau .
Jika A = {x| x < 1, x C} maka A = {0} atau n(A) = 1
Himpunan a disebut himpunan nol. Anggota himpunan A adalah 0 jadi, himpunan A bukan merupakan himpunan kosong
Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1 anggota, yaitu nol (0).
Contoh
A adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf B. Nyatakan A dalam notasi himpunan
Jawab
Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, Desember. Karena tidak ada nama bulan diawali dengan huruf B, maka A adalah himpunan kosong ditulis A = atau A = { }.

2. Himpunan Semesta
Jika kita sedang membicarakan sayur-sayuran, maka kangkung, bayam, sawi termasuk didalamnya. Dikatakan bahwa himpunan semesta dari himpunan yang mempunyai anggota kangkung, bayam dan sawi adalah sayur-sayuran. Lambang untuk himpunan semesta adalah S.
Contoh
A = {mangga, jambu}
Kemungkinan himpunan semestanya adalah S = {buah-buahan}. Dengan kata lain, S adalah semesta dari A. Himpunan S memuat semua anggota A.
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau obyek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan)biasanya dilambangkan dengan S.
Contoh
Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut
a. {2, 3, 5, 7}
b. {kerbau, sapi, kambing}
Jawab
a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7} maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah...
S = {bilangan prima} atau
S = {bilangan asli} atau
S = {bilangan cacah}
b. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang} {binatang berkaki empat} atau {binatang memamah biak}


Uji Kompetensi 3

1. Diantara himpunan-himpunan berikut, tentukan manakah yang merupakan himpunan kosong
a. Himpunan anak kelas VII SMP yang berumur lebih dari 25 tahun
b. Himpunan kerbau yang berkaki tiga
c. Himpunan kubus yang mempunyai 8 sisi
d. Himpunan bilangan prima yang habis dibagi 2
e. Himpunan bilangan cacah antara 2 dan 3
f. Himpunan nama bulan dalam setahun yang berumur kurang dari 28 hari
g. Himpunan penyelesaian untuk 3x = 2, x bilangan asli
h. N = {x|x + 3 = 0, x bilangan asli}
2. Tentukan sebuah himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan-himpunan berikut
a. A = {2, 3, 5}
b. B = {2, 4, 6}
c. C = {Apel, Jambu, Jeruk}
d. D = {kubus, balok, limas}
3. Sebutkan paling sedikit dua buah himpunan semesta yang mungkin dari tiap himpunan berikut
a. P = {x|x = 2n, n bilangan cacah}
b. Q = {x|x = 2n – 1, n bilangan asli}
c. R = {ayam, itik}
d. R = {meja, kursi, almari}

C. Himpunan Bagian
1. Pengertian Himpunan Bagian
Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1,3} setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A. Tetapi ada beberapa anggota himpunan A yang tidak menjadi anggota himpunan B. Sebutkan!
Himpunan B termasuk di dalam himpunan A. Dikatakan bahwa himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, ditulis dengan notasi B A, ingat B B dan { } B.
• Himpunan B adalah himpunan bagian dari A, jika setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A ditulis dengan notasi B A
• Himpunan B adalah himpunan bagian himpunan B sendiri ditulis B B
• Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan

Contoh
Diketahui
A = {1, 2, 3}
P adalah himpunan anggota A yang genap
Q adalah himpunan anggota A yang ganjil
R adalah himpunan anggota A yang lebih dari 2
S adalah himpunan anggota A yang kurang dari 2
Tunjukkan bahwa P, Q, R, dan S merupakan himpunan bagian dari A
Jawab
a. P = {2} merupakan himpunan bagian dari A atau P A atau {2} {1, 2, 3}
b. Q = {1, 3} merupakan himpunan bagian dari A atau Q A atau {1, 3} {1, 2, 3}
c. R = {3} merupakan himpunan bagian dari A atau R A atau {3} {1, 2, 3}
d. S = {1} merupakan himpunan bagian dari A atau S A atau {1} {1, 2, 3}
e. A = {1, 2, 3} merupakan himpunan bagian dari A karena setiap anggota A terdapat pada A


2. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian Dari Suatu Himpunan
Berapakah banyak himpunan bagian dari suatu himpunan? Ingat, himpunan kosong juga termasuk himpunan bagian.
Tugas
Sediakan empat kartu masing-masing bertuliskan a, b, c, dan d. Lakukan percobaan pengelompokan kartu-kartu tersebut.
Salin dan lengkapilah tabel berikut!
Himpunan Banyak Anggota Himpunan Bagian Banyak Himpunan Bagian
{a}
{a, b}
{a, b, c}
{a, b, c, d} 1
...
...
... { } {a}
{ }, {a}, {a, b}, {a, b}
...
... 2 = 21
4 = 22
... = 2...
... = 2...

Perhatikan kolom ke-2 dan kolom ke-4 pada tabel di atas
Banyak Anggota
1
2
3
4
n Banyak Anggota Himpunan
21
22
2...
2...
2...

Jadi, banyak himpunan bagian adalah 2n, dengan n menyatakan banyak anggota himpunan.
Jika suatu himpunan terdiri atas n anggota, maka banyak himpunan bagiannya adalah 2n.
Contoh
Suatu himpunan mempunyai himpunan bagian sebanyak 256. Berapa banyak anggota himpunan itu?
Jawab
2n = 256
2n = 28
n = 8
Jadi, banyak anggota himpunan tersebut adalah 8



Uji Kompetensi 4

1. Tentukan hubungan himpunan bagian antara himpunan-himpunan berikut
A = {2, 3, 4, 5}
B = {bilangan asli kurang dari 7}
C = {a, i, u, e}
D = {huruf vokal}
E = {a, u}
F = {bilangan prima genap}
G = {3, 5}
2. Tentukan himpunan bagian dari A = {bilangan prima antara 2 dan 20} berikut ini dengan mendaftar anggota-anggotanya
a. Himpunan bilangan ganjil anggota A
b. Himpunan bilangan genap anggota A
c. Himpunan anggota A yang kurang dari 10
3. Diketahui B = {2, 3, 5, 7, 11}.
Tentukan
a. Himpunan bagian B yang mempunyai dua anggota
b. Himpunan bagian B yang mempunyai tiga anggota
c. Himpunan bagian B yang mempunyai empat anggota
4. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan berikut
a. Himpunan bilangan cacah kurang dari 5
b. Himpunan bilangan prima antara 2 dan 10
c. P = {huruf-huruf pembentuk kata STATISTIKA}
d. R = {nama-nama hari dalam seminggu}
5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari B jika diketahui
a. B =
b. n(B) = 5
c. B = {2, 3}


D. Hubungan Antar Himpunan
Diketahui A = {bayam, sawi, tomat}
{mawar, melati, anggrek}
Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota A yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satupun anggota B yang menjadi anggota himpunan A. Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan B seperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.
Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B)
Contoh
Tulislah anggota dari masing-masing himpunan berikut, kemudian tentukan hubungan antar himpunan tersebut.
P = {x|x < 7, x A}
Q = {bilangna prima kurang dari 10}
R = {empat huruf pertama dalam abjad}
S = {x| 1 ≤ x < 6, x C}
Jawab
Dengan mendaftar masing-masing anggotanya, diproleh sebagai berikut
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Q = {2, 3, 5, 7}
R = {a, b, c, d}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Perhatikan himpunan P dan Q
Anggota persekutuan adari P dan Q adalah {2, 3, 5}. Namun masih terdapat anggota himpunan P yang tidak menjadi anggota himpunan Q yaitu {1, 4, 6}. Demikian pula terdapat himpunan Q yang tidak menjadi anggota P yaitu {7}. Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidak saling lepas (berpotongan).
- Perhatikan himpunan Q dan R
Karena tidak ada anggota persekutuan antara himpunan Q dan R, maka dikatakan himpunan Q dan R saling lepas atau saling asing. Namun perhatikan bahwa Q = {2, 3, 5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a, b, c, d}, n(R) = 4. Dengan demikian dikatakan bahwa himpunan Q dan R ekuivalen karena n(Q) = n(R)
- Perhatikan himpunan P dan S
Kedua himpunan P dan S dikatakan dua himpunan yang sama


Uji Kompetensi 5

Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan hubungan yang mungkin antar himpunan berikut
A = {x|x konsonan}
B = {x|x vokal}
C = {1, 2, 3}
D = {nama bulan yang berumur 30 hari}
E = {2, 1, 3}
F = {nama bulan dalam setahun yang dimulai dengan huruf J}
G = {bilangan cacah}
H = {x| 10 < x < 20, x bilangan prima}
I = {x|x < 9, x bilangan ganjil}
J = {bilangan ganjil}

E. Operasi Himpunan
1. Irisan dan Himpunan
a. Pengertian Irisan dan Himpunan
Untuk memahami irisan himpunan, marilah kita perhatikan contoh berikut ini:
A = {2, 3, 4} B = {1, 2, 3}
Pada himpunan A dan B terdapat anggota himpunan A yang juga merupakan anggota B yaitu 2 dan 3. Dikatakan irisan himpunan A dan B = {2, 3}. Untuk selanjutnya kata irisan diganti dengan menggunakan simbol . Ditulis : A B = {2, 3}.
Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota A yang menjadi anggota B. Ditulis dengan notasi pembentuk himpunan: A B = {x|x A dan x B}
b. Menentukan irisan dua himpunan
1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Misalkan A = {1, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}
Irisan dari himpunan A dan B adalah A B = {1, 3} = A. Tampak bahwa A = {1, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Jika A B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A.
Jika A B maka A B = A
Contoh
A = {2, 3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tentukan A B
Jawab
A = {2, 3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A B = {2, 3, 5} = A
2) Kedua himpunan sama
Dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadi anggota A. Oleh karena itu, anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A atau semua anggota B.
Jika A = B maka A B = A atau A B = B
Contoh
A = {bilangan asli kurang dari 7} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Tentukan A B
Jawab
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Karena A = B maka A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}= A = B
3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)
Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.
Contoh
A = {bilangan asli kurang dari 11} dan B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}. Tentukan anggota A B.
Jawab
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
A B = {2, 4, 6, 8, 10}

2. Gabungan Dua Himpunan
a. Pengertian gabungan dua himpunan
Untuk memehami gabungan himpunan, marilah kita memperhatikan contoh berikut ini!
A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4}
Himpunan yang anggotanya terdapat pada A atau B yaitu {1, 2, 3, 4} disebut gabungan dari himpunan A dan B. Untuk selanjutnya kata gabungan diganti dengan menggunakan simbol . Ditulis A B = {x|x A atau x B}.
Catatan: A B dibaca A gabungan B atau A union B.
b. Menentukan gabungan dua himpunan
1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang lain
Misalkan A = {1, 2} dan B = {1, 2, 3, 4}
Perhatikan bahwa A = {1, 2} B = {1, 2, 3, 4}, sehingga A B = {1, 2, 3, 4} = B
Jika A B maka A B = B
2) Kedua himpunan yang sama
Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {bilangan prima yang kurang dari 12}
Dengan mendaftar anggotanya diperoleh
A = {2, 3, 5, 7, 11}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A B = {2, 3, 5, 7, 11} = A = B
Jika A = B maka A B = A = B
3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)
Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {1, 2, 3, 4, 5} maka A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
c. Menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan
Banyaknya anggota dari gabungan duahimpunan dirumuskan sebagai berikut
n(A B) = n(A) + n (B) – n(A B)
Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan banyak anggota dari gabungan dua himpunan.

3. Selisih (Difference) Dua Himpunan
Selisih (difference) dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A\B
Catatan
A – B = A\B dibaca selisih A dan B
Dengan notasi pembentuk himpunan
A – B = {x|x A, x B}
B – A = {x|x B, x A}
Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}
Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, sedangkan selisih B dan A adalah B – A = {a, c, f, g} – {a, b, c, d} = {f, g}

4. Komplemen Suatu Himpunan
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.
Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut
Ac ={x|x S dan x A}
Contoh
Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan semesta. Jika P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {2, 3, 5, 7}. Tentukan
a. Anggota Pc
b. Anggota Qc
c. Anggota (P Q)c
Jawab
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P = {1, 2, 3, 4}
Q = {2, 3, 5, 7}
a. Pc = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
b. Qc = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
c. untuk menentukan anggota (P Q)c, tentukan terlebih dahulu P Q.
P Q = {2, 3}
(P Q)c = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Uji Kompetensi 6

1. Tentukan A B dengan menyebutkan anggota-anggotanya, kemudian tentukan n(A B) untuk A dan B di bawah ini
a. A = {x| 0 < x ≤ 5, x bilangan asli}
B = {x| -4 ≤ x < 5, x bilangan bulat}
b. A = {x| x < 9, x bilangan ganjil}
B = {x| x < 9, x bilangan prima}
c. A = {huruf pembentuk kata AYAH}
B = {huruf pembentuk kata BAPAK}
2. Diketahui himpunan-himpunan berikut
A = {x| -3 < x < 3, x bilangan bulat}
B = {lima bilangan cacah yang pertama}
C = {x| x < 5, x bilangan asli}
Dengan menyebutkan anggota-anggotanya, tentukan masing-masing anggota himpunan berikut
a. A B b. A C c. B C d. A B C
3. Diketahui himpunan-himpunan berikut
P = {x| x < 5, x bilangan cacah}
Q = {empat bilangan ganjil yang pertama}
R = {x|x ≤ 11 , x bilangan prima}
Dengan menyebutkan anggota-anggotanya, tentukan masing-masing anggota himpunan berikut:
a. P, Q dan R
b. P Q
c. Q R
d. P (Q R)
e. P (Q R)
f. Q (P R)
g. R (P Q)
h. (P Q) (Q R)
4. Diketahui
S = {bilangan cacah kurang dari 15}
P ={x|x < 8, x S}
Q ={x|x ≥ 5, x S}
Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya
a. Pc
b. Qc
c. (P Q)c
d. (P Q)c
e. P Qc
f. P\Q
g. Q\P
h. S\P


5. Sifat-sifat Operasi Himpunan
a. Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan
sifat komutatif irisan
A B = B A
Sifat Asosiatif irisan
(A B) C = A (B C)
Sifat Idempotensi irisan
A A = A
Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku
a. Sifat identitas irisan
A S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)
b. Sifat komplemen irisan
A Ac =
Sifat distributif irisan terhadap gabungan
A (B C) = C)
Coba buktikan sifat-sifat di atas dengan berdiskusi bersama temanmu.

b. Sifat-sifat selisih himpunan
Sifat distributif selisih terhadap irisan
C) = C)
Sifat distributif selisih terhadap gabungan
C) = C)
Diskusikan hal ini dengan temanmu

Uji kompetensi 7

Diketahui
A = {huruf pembentuk kata GEMBIRA}
B = {huruf pembentuk kata PERIANG}
C = {huruf pembentuk kata CERIA}
Dengan mendaftar anggota-anggotanya tentukan
a. anggota A, B, dan C
b. anggota
c. anggota
d. anggota
e. anggota A?
f. anggota C)
g. anggota C)
h. anggota C)
i. anggota C)
Ujilah jawabanmu dengan sifat-sifat operasi himpunan.

F. Diagram Venn
1. Pengertian Diagram Venn
Diagram Venn merupakan cara menyatakan himpunan dengan gambar (diagram). Dalam matematika cara ini banyak digunakan untuk memecahkan soal-soal himpunan.
Diagram Venn dikenalkan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Inggris, yaitu John Venn (1834-1923). Setiap anggota himpunan dinyatakan dengan noktah (titik). Nama anggota ditulis di dekat noktah. Jika anggota himpunan sangat banyak, maka noktah-noktahnya tidak perlu digambar.
Himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang dan diberi nama S. Biasanya S diletakkan di sudut kiri atas persegi panjang. Himpunan yang dibicarakan digambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutup lainnya.
Contoh
S adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 11.
A adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari 10.
B adalah himpunan bilangan genap yang kurang dari 10.
a. Sebutkan masing-masing himpunan itu dengan menyebutkan anggota-anggotanya!
b. Nyatakan dengan diagran Venn, jika S adalah himpunan semesta!
Jawab
a. S = {0, 1, 2, ..., 10}
A = {2, 3, 5, 7}
B = {0, 2, 4, 6, 8}
b. Diagram Venn

Gambar 1.1
1. Membaca Diagram Venn

Gambar 1.2
Berdasarkan diagram Venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya
a. Himpunan S
b. Himpunan A
c. Himpunan B
d. Anggota himpunan
e. Anggota himpunan
f. Anggota himpunan A\B
g. Anggota himpunan Ac
Jawab
a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau semesta pembicaraan. Himpunan S memuat semua anggota atau obyek himpunan yang dibicarakan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 20}
b. Himpunan A adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan A. Dalam diagram Venn, anggota himpunan A berada pada kurva yang dibatasi oleh A. Jadi A = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}
c. Himpunan B adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan B. Dalam diagram Venn, anggota himpunan B berada pada kurva yang dibatasi oleh B. Jadi, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
d. Anggota himpunan adalah anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B = {3, 6, 9}
e. Anggota himpunan adalah semua anggota himpunan A maupun himpunan B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}
f. Anggota himpunan A\B adalah semua anggota A tetapi bukan anggota B, sehingga A\B = {1, 12, 15, 18}
g. Anggota himpunan Ac adalah semua anggota S tetapi bukan anggota A, sehingga Ac = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}

2. Menyajikan operasi himpunan dalam diagram Venn
Contoh
Diketahui S = {0, 1, 2, ..., 15} A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 5, 10, 11} dan C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah himpunan berikut
a. C
b.
c. C
d. C)
e. Bc
f. A – C

Jawab
S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 5, 10, 11} dan
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui bahwa C = {2}
= {1, 2, 5}
C = {2, 10}
C = {2, 4, 6}
Diagram Venn-nya sebagai berikut

Gambar 1.3
a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan C.

Gambar 1.4


Gambar 1.5


Gambar 1.6

Gambar 1.7


Gambar 1.8

Uji Kompetensi 8

1. Perhatikan diagram Venn berikut

S = {siswa yang gemar olahraga}
A = {siswa yang gemar bola voli}
B = {siswa yang gemar bola basket}
Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah. Dari diagram Venn tersebut, sebutkan anggota himpunan berikut
a. Himpunan siswa yang gemar olahraga
b. Himpunan siswa yang gemar bola voli
c. Himpunan siswa yang gemar bola basket
d. Himpunan siswa yang gemar bola voli dan basket
e. Himpunan siswa yang gemar bola voli saja
f. Himpunan siswa yang gemar bola basket saja
2. Diketahui himpunan-himpunan berikut
S = {bilangan cacah kurang dari 15}
A = {x|x < 7, x bilangan asli}
B = {x|x ≤ 13, x bilangan prima}
C = {lima bilangan genap yang pertama}
Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya, kemudian tunjukkan daerah arsiran yang menyatakan himpunan-himpunan tersebut.
a.
b. C
c. C
d. C)
e. C)c
f. A\B
g. Cc
h. R\P


G. Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep himpunan
Dalam kehidupan sehari-hari banyak perhitungan yang menggunakan konsep himpunan. Oleh karena itu, perlu dicari rumus yang menyangkut irisan dan gabungan.


Gambar 1.9
Banyak anggota = banyaknya anggota A + (banyak anggota B – banyak anggota B yang juga anggota A). Banyak anggota = banyak anggota A + (banyak anggota B – banyak anggota )
n = n(A) + n(B) - n
n = n(A) + n(B) - n
Contoh
1. Sekelompok pemuda terdiri atas 40 orang, 32 orang mengikuti jantung sehat, 26 orang mengikuti sepeda santai, 20 orang mengikuti jantung sehat dan sepeda santai.
a. Tentukan banyak pemuda yang tidak mengikuti kegiatan!
b. Ada berapa yang hanya mengikuti jantung sehat?
c. Tunjukkan diagram Venn dari keadaan itu!

Jawab
a. Misal S adalah himpunan pemuda
A adalah himpunan pemuda yang mengikuti jantung sehat
B adalah himpunan pemuda yang mengikuti sepeda santai
n(S) = 40, n(A) = 32, n(B) = 26
n = 20
n = n(A) + n(B) - n
= 32 + 26 – 20
= 38
yang tidak mengikuti kegiatan dapat dihitung dari:
n(S) - n = (40 – 38) orang
= 2 orang
b. Jumlah pemuda yang hanya mengikuti jantung sehat = (32 – 20)orang
= 12 orang
c.

Gambar 1.10
2. Jumlah siswa dalam suatu kelas ada 40 orang. Siswa yang gemar voli ada 20 orang, gemar basket ada 25 orang, dan 5 orang tidak gemar kedua-duanya
a. Gambarlah diagram Venn-nya!
b. Dengan memisalkan siswa yang gemar kedua-duanya x, bentuklah persamaan dalam x!
c. Tentukan nilai x!
d. Berapa orang siswa yang gemar kedua-duanya?
e. Berapa siswa yang hanya gemar basket?






Jawab
a.

Gambar 1.11
b. Persamaan
(20 – x) + x + (25 – x) + 5 = 40
c. 20 – x + x + 25 – x + 5 = 40
-x + 50 = 40
-x = 40 – 50
-x = -10
x = 10
d. Siswa yang gemar voli dan basket ada 10 orang
e. Banyak siswa yang hanya gemar basket
= (25 – 10) orang
= 15 orang

Uji Kompetensi 9

1. Dari 30 orang anggota pramuka penggalang terdapat 21 siswa suka menyanyi, 15 siswa suka memasak, 14 siswa yang suka kedua-duanya.
a. Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas!
b. Berapakah orang yang tidak suka menyanyi dan tidak suka memasak.
2. Dalam kelas terdapat 40 siswa, 32 siswa gemar matematika, 28 siswa gemar IPS, dan 24 siswa gemar kedua-duanya.
a. Gambarlah diagram Venn himpunan-himpunan tersebut!
b. Hitunglah banyak siwa yang tidak gemar matematika dan IPS!
3. Pada suatu agen koran dan majalah tercatat 35 orang berlangganan kedua-duanya, 15 orang hanya berlangganan koran, dan 17 orang hanya berlangganan majalah.
a. Berapa banyak pelanggan seluruhnya!
b. Gambarlah diagram Venn dari keadaan tersebut!
4. Dalam suatu sekolah dengan 240 siswa diadakan pencatatan tentang kegemaran musik. Ternyata 34 siswa tidak menggemari musik. Dari sisanya 176 siswa menggemari musik pop dan 52 siswa menggemari dangdut.
a. Gambarlah keterangan tersebut dalam diagram Venn, dan nyatakan banyaknya siswa yang menggemari baik musik pop maupun musik dangdut dalam x!
b. Tentukan x!
5. Sebanyak 55 anak ditanya tentang siaran olahraga yang pernah ditonton pada siaran TV, ternyata 19 anak menonton bulutangkis, 34 anak menonton tinju, dan 14 anak tidak kedua-duanya.
a. Gambarlah diagram Venn, dengan x adalah banyak anak yang pernah menonton bulutangkis dan tinju!
b. Tentukan x!
c. Berapa anak yang hanya pernah menonton bulutangkis.

Rangkuman

1. Himpunan adalah kumpulan benda atau obyek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui obyek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau obyek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal { }.
3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga.
Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
5. Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau obyek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.
6. a. Himpunan A merupakan himpunan bagian A, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan atau .
b. Himpunan A bukan merupakan himpunan B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan .
c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri ditulis .
d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.


7.



8. Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan A dan B dinotasikan dengan = {x|x A dan x B}.
9. Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B. Gabungan A dan B dinotasikan dengan = {x|x A dan x B}. Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan n = n(A) + n(B) - n
10. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

EVALUASI 1

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.
1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar anggota-anggotanya dan dengan notasi pembentuk himpunan.
a. A adalah himpunan bilangan bulat antara -2 dan 2.
b. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 60 dan habis dibagi 6.
c. C adalah himpunan bilangan prima kurang dari 30.
d. D adalah himpunan tujuh bilangan asli yang pertama.
2. Gambarlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut, kemudian tentukan anggota .
a. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} dan B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
b. A = {a, e} dan B = {huruf pembentuk kata MAKAN}.
c. A = {huruf vokal} dan B = {huruf pembentuk kata PERMATA}
3. Diakatakan A = {bilangan prima kurang dari 18}. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A yang memiliki
a. 2 anggota
b. 4 anggota
c. 5 anggota
d. 6 anggota
4. Diketahui P = {1, 2, 3, 4}, Q = {2, 4, 6, 8} dan C = {3, 4, 5, 6}. Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan
a. P Q
b. P R
c. P Q R
d. P (Q R)
e. Pc (Q R)
f. P\Q
Kemudian, gambarlah diagram Venn dari masing-masing operasi himpunan tersebut.
5. Setelah dilakukan pencatatan terhadap 35 orang warga di suatu kampung, diperoleh sebagai berikut.
18 orang suka minum teh,
17 orang suka minum kopi,
14 orang suka minum susu,
8 orang suka minum teh dan kopi,
5 orang suka minum kopi dan susu,
3 orang suka minum ketiga-tiganya.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Tentukan banyaknya warga yang gemar minum teh saja, gemar minum kopi saja, gemar minum susu saja dan tidak gemar ketiga-tiganya!



















BAB 2
GARIS DAN SUDUT

Kompetensi Dasar
Setelah mempelajari garis dan sudut, kalian akan mampu mengukur besar sudut, menentukan jenis sudut, dan menggambar sudut. Selanjutnya kalian akan dapat membagi garis dan menentukan kedudukan dua garis serta menemukan sifat-sifat garis dan sudut.
Tujuan pembelajaran pada bab ini adalah
- dapat menjelaskan kedudukan dua garis (sejajar, berimpit, berpotongan, bersilangan) melalui benda konkrit.
- dapat mengenal satuan sudut yang sering digunakan.
- dapat mengukur besar sudut dengan busur derajat.
- dapat menjelaskan perbedaan jenis sudut (siku, lancip, tumpul).
- dapat menemukan sifat-sifat jika dua garis sejajar dipotong garis ketiga (garis lain).
- dapat menggunakan sifat-sifat sudut dan garis untuk menyelesaikan soal.
- dapat melukis sudut yang besarnya sama dengan sudut yang diketahui dengan menggunakan busur dan jangka.
- dapat melukis sudut 60o, 90o, 30 o, 45 o, 120 o, dan 150 o.
- dapat membagi sudut menjadi dua sama besar.

A. Garis
Garis merupakan bangun paling sederhana dalam geometri, karena garis adalah bangun berdimensi satu.

Perhatikan gambar di atas. Diantara titik A dan titik B dapat dibuat satu garis lurus AB. Diantara dua titik pasti dapat ditarik satu garis lurus.
1. Kedudukan Dua Garis
a. Dua garis sejajar
Garis k dan l di samping, jika diperpanjang sampai tak berhingga maka kedua garis tidak akan pernah berpotongan.

Keadaan seperti ini dikatakan kedua garis sejajar. Dua garis sejajar dinotasikan dengan //. Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah beertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai tak berhingga.
b. Dua garis berpotongan
Gambar di samping adalah gambar kubus ABCD.EFGH. Perhatikanlah garis AB dan BC. Tampak bahwa garis AB dan BC berpotongan dititik B dimana keduanya terletak pada bidang ABCD.
Gambar 2.1
Dalam hal ini garis AB dan BC dikatakan saling berpotongan. Sebutkanlah pasangan garis lain dari kubus ABCD.DEFG yang saling berpotongan!
Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan mempunyai satu titik potong.
c. Dua garis berimpit


Gambar 2.2
Pada gambar di atas menunjukkan garis AB dan garis CD yang saling menutupi, sehingga hanya terlihat sebagai satu garis lurus saja.
Dalam hal ini dikatakan kedudukan masing-masing garis AB dan CD terletak pada satu garis lurus. Kedudukan garis yang demikian dinamakan pasangan garis yang berimpit.
Dua garis dikatakan berimpit apabila garis tersebut terletak pada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat sebagai satu garis lurus saja.
d. Dua garis bersilangan





Gambar 2.3
Gambar di atas menunjukkan sebuah balok ABCD.EFGH. Perhatikan garis AC dan garis HF.
Tampak bahwa kedua garis tersebut tidak terletak pada satu bidang datar. Garis AC terletak pada bidang ABCD, sedangkan garis HF terletak pada bidang EFGH. Selanjutnya apabila kedua garis tersebut, masing-masing diperpanjang, maka kedua garis itu tidak mempunyai titik potong. Kedudukan garis yang demikian dinamakan pasangan garis yang saling bersilangan. Coba tentukan pasangan garis lain yang saling bersilangan pada balok tersebut. Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis tersebut tidak terletak pada satu bidang datar dan tidak akan berpotongan apabila diperpanjang.

2. Garis horisontal dan garis vertikal
Pada gambar di samping, garis AB disebut garis horisontal dan garis BC disebut garis vertikal.


Gambar 2.4
3. Sifat-sifat garis sejajar
Perhatikan gambar di samping!
Pada gambar tersebut melalui dua titik yaitu titik A dan titik B dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis m.
Gambar 2.4

Apabila dari titik C di luar garis m dibuat garis sejajar garis m yang melalui titik tersebut, ternyata hanya dapat dibuat tepat satu, yaitu garis n. Berdasarkan uraian di atas, secara umum diperoleh sifat sebagai berikut.
Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis sejajar dengan garis itu.

Perhatikan gambar di sampirng!
Garis k sejajar dengan garis l (k//l) dan garis m memotong garis k dititik A. Apabila garis m yang memotong garis k dititik A diperpanjang maka garis m akan memotong garis l di satu titik yaitu titik B.


Gambar 2.7

Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua.




Perhatikan gambar di samping!
Garis k sejajar dengan garis l dan garis m. Tampak bahwa garis k sejajar dengan garis l atau dapat ditulis k//l dan garis k sejajar dengan garis m ditulis k//m. Karena k//l dan k//m maka l//m. Hal ini berarti bahwa garis l sejajar dengan garis m.
Gambar 2.8
Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya maka kedua garis itu sejajar pula satu sama lain.

Uji Kompetensi 1

1.





Pasangan garis manakah yang saling sejajar, berpotongan, atau bersilangan.
2. Perhatikan gambar berikut






3. Perhatikan gambar berikut










4.







Dari gambar di atas, sebutkan
a. garis yang sejajar dengan p
b. garis yang berpotongan dengan garis l
c. garis yang bersilangan dengan garis q
5. Perhatikan limas T.ABCD berikut









4. Membagi sebuah garis
a. Membagi Garis Menjadi n Bagian Sama Panjang









Gambar 2.9

4) Tariklah garis dari titik Q ke titik L
5) Dari titik R dan S, masing-masing buatlah garis yang sejajar garis LQ sehingga masing-masing garis tersebut memotong garis KL berturut-turut dititik N dan M
6) Dengan demikian, terbagilah garis KL menjadi tiga bagian yang sama panjang, yaitu KM = MN =NL

b. Membagi Garis Dengan Perbandingan Tertentu
Diketahui garis CD sebagai berikut










Gambar 2.10
7) Tariklah garis dari titik Q ke titik D
8) Dari titik P buatlah garis yang sejajar dengan DQ dengan cara membuat sudut yang besarnya sama dengan CQD terlebih dahulu dari titik P kemudian menghubungkannya sehingga memotong CD di titik B
9) Terbentuklah ruas CB dan BD pada garis CD dengan perbandingan CB : BD = 1 : 3. Garis CD tidak terbagi menjadi dua bagian dengan perbandingan 1 : 3


Uji Kompetensi 2

1. a.

b.




2. a.


b.


3. Gambarlah sebarang garis dengan panjang 9 cm. Bagilah garis tersebut menjadi 6 bagian sama panjang dengan menggunakan jangka dan penggaris. Berilah nama pada tiap tersebut. Uji hasilnya dengan mengukur panjang tiap titik. Apakah hasil yang kalian peroleh sudah tepat?
4. Gambarlah sebarang garis CD dengan panjang 10 cm. Bagilah garis AB dengan perbandingan 2 : 3 dengan menggunakan jangka dan penggaris. Ujilah hasilnya dengan menggunakan penggaris.


B. Perbandingan Segmen Garis
Perhatikan gambar di bawah









Gambar 2.11
1. PM : MQ = 3 : 2
PC : CE = 3 : 2
2. QN : NP = 1 : 4
ED : DP = 1 : 4
3. PC : PQ = 2 : 5
PB : PE = 2 : 5
4. QC : QP = 3 : 5
EB : EP = 3 : 5
Berdasarkan uraian tersebut, secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut:








Gambar 2.12


Contoh








Gambar 2.13
Pada gambar di atas, diketahui QR//TS. Jika PR = 15 cm, PQ = 12 cm dan PS = 10 cm . Tentukan
a. Panjang PT
b. Perbandingan panjang TS dan QR
Jawab
a.



Jadi, panjang PT = 8 cm
b.


Jadi, TS : QR = 2 : 3

Uji Kompetensi 3

1. Perhatikan gambar berikut





a. Jika DE = 3 cm, BC = 12 cm dan EC = 6 cm, tentukan panjang AE
b. Jika DE : BC = 2 : 3 dan garis AT = 15 cm, tentukan panjang AS
c. Jika AB : AD = 5 : 2 dan DE = 4 cm, tentukan panjang BC
d. Jika AB = 6 cm, AD = 2 cm dan BC = 9 cm, tentukan panjang DE!
2. Hitunglah nilai x dan y pada gambar berikut





3.









4.





5. Pada segitiga ABC berikut, DE sejajar dengan AB. Jika panjang AB = 18 cm, DE = 8 cm, dan CD = 12 cm, tentukan panjang CA.








C. Sudut
1. Pengertian sudut







Ruas garis BA dan BC disebut kaki sudut, sedangkan titik pertemuan kaki-kaki sudut itu disebut titik sudut. Daerah yang dibatasi oleh kaki-kaki sudut yaitu daerah ABC disebut daerah sudut. Untuk selanjutnya, daerah sudut ABC disebut besar sudut ABC.
Sudut dinotasikan dengan “ ”.
Sudut adalah daerah yang dibentuk oleh pertemuan antara dua buah sinar atau dua buah garis lurus.

2. Besar Sudut
Kita telah mengenal beberapa satuan ukuran, misal satuan panjang, satuan luas, satuan berat, dan sebagainya. Besar suatu sudut dapat dinyatakan dalam satuan derajat (°), menit (') dan detik (").
Perhatikan jarum jam pada sebuah jam dinding. Untuk menunjukkan waktu 1 jam, maka jarum menit harus berputar 1 putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 jam = 60 menit. Adapun untuk menunjukkan 1 menit, jarum detik harus berputar 1 putaran penuh sebanyak 60 kali, atau dapat ditulis 1 menit = 60 detik.
Hubungan antara derajat (°), menit (') dan detik (") dapat dituliskan sebagai berikut
1° = 60' atau 1' =
1' = 60" atau 1" =
1° = 60 x 60' atau 1° =
= 3600"
Contoh
Tentukan kesamaan besar sudut berikut
a. 6° = ......'
b. 5' = ..... "
c. 38,6° = .....° .....'
d. 55° 48' = .....°
Jawab
10) Karena 1° = 60' maka 6° = 60 x 60' = 360'
b. Karena 1' = 60" maka 8' = 8 x 60" = 480"
c. 38,6° = 38° + 0,6°
= 38° + (0,6 x 60°)
= 38 + 36
= 38° 36'
d. 55°48' = 55° + 48'
= 55° +
= 55° + 0,8°
= 55°, 8°





Uji kompetensi 4
1. Gambarlah sudut-sudut yang dibentuk oleh
a. Sinar dan
b. , , dan
Kemudian, tunjukkan titik sudut, kaki sudut, dan daerah sudut masing-masing sudut yang terbentuk.
2. Perhatikan gambar berikut





3. Perhatikan gambar berikut






Berilah nama sudut pada masing-masing gambar di atas dengan menggunakan satu huruf dan tiga huruf!
4. Berapakah besar sudut yang terbentuk oleh jarum pendek sebuah jam jika telah berputar selama 15 jam 30 menit? (dalam derajat, menit, dan detik)
5. Nyatakan satuan sudut berikut sesuai dengan perintah.
a. 8° = ..... '
b. 13' = ..... "
c. 10° = ..... "
d. = ..... '
e. 68, 4° = ..... '
f. 71° 42' = .....°
g. 85° 96' = .....° ..... '
h. 21' 79" = ..... ' ..... "
i. 65° 70' 56" = .....° ..... ' ..... "
j. 105° 82' 75" = .....° ..... ' ..... "
3. Penjumlahan dan pengurangan dalam satuan sudut
Seperti halnya pada besaran-besaran lainnya, pada satuan sudut juga dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Caranya hampir sama seperti pada penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal. Untuk menjumlahkan atau mengurangkan satuan sudut, masing-masing satuan derajat, menit, dan detik harus diletakkan dalam satu lajur.
Contoh
1. Tentukan hasil penjumlahan satuan sudut berikut ini!
a. 24° 46' + 57° 35'
b. 18° 56' 48" + 29° 27' 36"
Jawab
Digunakan cara bersusun pendek sebagai berikut
a. 24° 46'

81° 81' = 81° + (60' + 21')
= 81° + 1° + 21'
= 82° 21'
Jadi, 24° 46' + 57° 35' = 82° 21'
b. 18° 56' 48"

= 47° + (60' + 23') + (60" + 24")
= 47° + (1° + 23') + (1' + 24")
= (47° + 1°) + (23' + 1') + 24"
= 48° 24' 24"
Jadi, 18° 56' 48" + 29° 27' 36" = 48° 24' 24"
2. Tentukan hasil pengurangan satuan sudut berikut ini!
a. 49° 53' 46" - 24° 38' 15"
b. 64° 27' 32" - 36° 42' 54"
Jawab
Dalam mengurangkan satuan sudut digunakan cara bersusun berikut.
a. 49° 53' 46"

Jadi, 49° 53' 46" - 24° 38' 15" = 25° 15' 31"

b. 64° 27' 32"

Jadi, 64° 27' 32" - 36° 42' 54" = 27° 44' 38"
Penyelesaian
27' = 26' + 1' (1' ditambahkan pada 32" = 60" + 32" = 92")
64° = 63° + 1° (1° ditambahkan pada 26' = 60' + 26' = 86')

Uji Kompetensi 5

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan sudut berikut ini!
1. 42° 32' 35" + 24° 34' 59"
2. 50° 42' 52" – 37° 19" 40"
3. 86° 27' 13" – 47° 46' 58" + 23° 15' 30"
4. 89° 34' 26" – 34° 37' 24" + 27° 40' 59"
5. 109° 51' 25" – 82° 18' 12" + 65° 54' 42"
6. 66° 55' 41" + 33° 22' 13"
7. 28° 19' 32" – 43° 38' 47"
8. 52° 42' 39" + 24° 30' 58" – 18° 27' 42"
9. 37° 17' 12" + 28° 35' 13" – 34° 17' 23"
10. 48° 37' 18" + 16° 22' 35" – 27° 41' 39"


D. Menggambar dan memberi nama Sudut
Sediakanlah sebuah busur derajat agar kalian dapat memahami materi berikut dengan baik
Dalam mengukur besar suatu sudut, diperlukan suatu alat yang dinamakan bususr derajat.
Perhatikan gambar berikut.








Gambar 2.14
Gambar di atas menunjukkan sebuah bususr derajat yang menggunkan derajat sebagai satuannya.
Pada umumnya, busur derajat terbuat dari mika tembus pandang berbentuk setengah lingkaran.
Pada busur derajat terdapat dua skala, yaitu skala atas dan skala bawah. Pada skala atas terdapat angka-angka 0, 10, 20, ..., 180 berturut-turut dari kiri ke kanan, sedangkan pada skala bawah terdapat angka-angka berturut-turut dari kanan ke kiri 0, 10, 20, ..., 180.

1. Mengukur Besar Suatu Sudut
Langkah-langkah dalam mengukur besar suatu sudut sebagai berikut
Perhatikan gambar berikut








Gambar 2.15
1. Letakkan busur derajat pada sudut AOB sehingga
a) Titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik O.
b) Sisi horisontal busur derajat berimpit dengan sinar garis OA.
2. Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis OA. Jika angka nol berada pada skala bawah, perhatikan angka pada skala bawah yang terletak pada kaki sudut OB. Dari gambar tampak bahwa garis OB terletak pada angka 75°. Jadi, besar sudut AOB = 75°.

2. Menggambar Besar Suatu Sudut
Setelah kita mengatahui cara mengukur besar sudut dengan bususr derajat, sekarang kita akan mempelajari cara menggambar sudut.
Perhatikan uraian berikut
Misalkan kita akan melukis sudut PQR yang besarnya 60°. Langkah-langkah untuk melukis sudut PQR yang besarnya 60° sebagai berikut
(i) Buatlah salah satu kaki sudutnya yang horisontal, yaitu kaki sudut PQ.
(ii) Letakkan busur derajat sehhingga
- titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik Q,
- sisi lurus busur derajat berimpit dengan garis PQ
(iii) Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis PQ.
Jika angka nol (0) terletak pada skala bawah maka angka 60 yang berada di bawah yang digunakan.
Jika angka nol (0) terletak pada skala atas maka angka 60 yang beada di atas yang digunakan. Berilah tanda pada angka 60 dan namakan titik R.
(iv) Hubungkan titik Q dan R. Daerah yang dibentuk oleh garis PQ dan QR adalah sudut PQR dengan besar PQR = 60°.








Gambar 2.16


Uji Kompetensi 6

1. Dengan menggunakan busur derajat, ukurlah besar sudut-sudut berikut ini






2. Dengan menggunakan busur derajat, gambarlah sudut-sudut berikut ini
a. ABC = 30°
b. AOB = 45°
c. AOC = 75°
d. PQR = 110°
e. GHI = 130°
f. DEF = 145°
3. Buatlah ruas garis KL sepanjang 3 cm dengan posisi horisontal. Jika K sebagai titik sudut dan ruas garis KL sebagai salah satu kaki sudutnya, gambarlah sudut berikut ini
a. JKL = 65°
b. MKL = 120°
c. NKL = 140°
d. PKL = 160°
4. Gambarlah sudut-sudut berikut, kemudian berilah nama dari masing-masing sudut itu.
a. 80°
b. 175° c. 210° d. 310°


E. JENIS-JENIS SUDUT
Secara umum ada lima jenis sudut yaitu
a. Sudut siku-siku
b. Sudut lurus
c. Sudut lancip
d. Sudut tumpul
e. Sudut refleks
Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90°.
Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180°.
Sudut yang besarnya antara 0° dan 90° disebut sudut lancip.
Sudut yang besarnya antara 90° dan 180° disebut sudut tumpul.
Sudut yang besarnya lebih dari 180° dan kurang dari 360° disebut sudut refleks.







Uji Kompetensi 7

1. Tentukan jenis sudut pada gambar berikut tanpa mengukurnya








2. Tentukan jenis sudut yang terbentuk antara kedua jarum jam pada waktu-waktu berikut ini!
a. Pukul 8.00
b. Pukul 11.00
c. Pukul 16.00
d. Pukul 15.00
3. Nyatakan sudut-sudut berikut sebagai sudut lancip, tumpul, siku-siku atau refleks.
a. sudut lurus
b. putaran penuh
c. putaran penuh
d. sudut lurus
e. sudut lurus
f. sudut lurus


F. HUBUNGAN ANTAR SUDUT
1. Pasangan Sudut Yang Saling Berpelurus/Bersuplemen
Perhatikan gambar berikut





Gambar 2.18



Pada gambar di atas, garis AB merupakan garis lurus, sehingga besar AOB = 180°. Pada garis AB, dari titik O dibuat garis melalui C, sehingga terbentuk sudut AOC dan sudut BOC.
Demikian pula sebaliknya, BOC merupakan pelurus atau suplemen AOC, sehingga diperoleh AOC + BOC = AOB.
x° + y° = 180°
atau dapat ditulis x° = 180° - y° dan y° = 180° - x°.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jumlah dua sudut yang saling berpelurus (bersuplemen) adalah 180°. Sudut yang satu merupakan pelurus dari sudut yang lain.
Contoh



Gambar 2.19
Perhatikan gamabar di atas. Hitunglah nilai x° dan tentukan pelurus dari sudut x°.
Jawab
Berdasarkan gambar diperoleh bahwa
3 x° + 2 x° = 180°
5 x° = 180°
x° =
x° = 36°
Pelurus sudut x° = 180° - 36° = 144°
2. Pasangan sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen)
Perhatikan gambar berikut





Gambar 2.20

Pada gambar di atas terlihat PQR merupakan sudut siku-siku, sehingg besar PQR = 90°.
Jika pada PQR ditarik garis dari titik sudut Q, akan terbentuk dua sudut, yaitu sudut PQS dan sudut RQS. Dalam hal ini dikatakan bahwa PQS merupakan penyiku (komplemen) dari RQS, demikian pula sebaliknya, sehingga diperoleh
PQS + RQS = PQR
a° + b° = 90°
dengan a° = 90 - b° dan b ° = 90 - a °
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jumlah dua sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen) adalah 90°. Sudut yang satu merupakan penyiku dari sudut yang lain.
Contoh




Gambar 2.21
Perhatikan gambar di atas
a. Hitunglah a°
b. Berapakah penyiku sudut a°?
c. Berapakah pelurus dari
Jawab
a. a° + 3a° = 90°
4a° = 90°
a° =
=
b. Penyiku dari a° = 90°- =
c. Pelurus dari penyiku a° adalah 180° - =

3. Pasangan Sudut yang Saling Bertolak belakang






Gambar 2.22
KON + LOM = 180° (berpelurus)
KOL = 180° - LOM ..........................(i)
NOM + MOL = 180° (berpelurus)
NOM = 180° - MOL ..........................(ii)
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh
KOL = NOM = 180° - LOM
Jadi besar KOL = besar NOM
Dengan cara yang sama, tentu kalian dapat membuktikan bahwa KON = LOM.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai beikut
Jika dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknya saling membelakangi titik potongnya disebut dua sudut yang bertolak belakang. Dua sudut yang saling bertolak belakang adalah sama besar.
Contoh




Gambar 2.23

Jawab
SOP = 45°
a. ROP = SOP (bertolak belakang)
= 45°
b. SOP + SOR = 180° (berpelurus)
SOR = 180° - SOP
= 180° – 45°
= 135°
c. POQ = SOR (bertolak belakang)
= 135°
Uji Kompetensi 8

1. Tentukan besar sudut berpelurus dari sudut-sudut berikut
a. 20° b. 75° c. 100° d. 127° e. 152° f. 176°
2. Tentukan besar sudut penyiku dari sudut-sudut berikut
a. 10° b.30° c. 27° d. 48° e. 65° f. 89°

3. Hitunglah nilai a°, b°, c°, d°, e° dan f° pada gambar berikut






4. Hitunglah nilai a° dari masing-masing gambar berikut





5. Salinlah gambar berikut, kemudian tentukan besar sudut yang belum diketahui






6. Perhatikan gambar berikut ini














G. HUBUNGAN ANTAR SUDUT JIKA DUA GARIS SEJAJAR DIPOTONG OLEH GARIS LAIN
1. Sudut-sudut sehadap dan berseberangan
Perhatikan gambar berikut






Gambar 2.25
A1 sehadap dengan B1 dan A1 = B1
A2 sehadap dengan B2 dan A2 = B2
A3 sehadap dengan B3 dan A3 = B3
A4 sehadap dengan B4 dan A4 = B4
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka akan terbentuk empat pasang sudut sehadap yang besarnya sama.
Contoh





Gambar 2.26
Perhatikan gambar di atas
a. Sebutkan pasangan sudut-sudut sehadap
b. Jika besar K1 = 102° tentukan besar
i) L1
ii) K2
iii) L2
Jawab
a. Berdasarkan gambar di atas diperoleh
K1 sehadap dengan L1
K2 sehadap dengan L2
K3 sehadap dengan L3
K4 sehadap dengan L4
b. Jika K1 = 102° maka
i) L1 = K1 (sehadap)
= 102°
ii) K2 = 180° - K1 (berpelurus)
= 180° - 102°
= 78°
iii) L2 = K2
= 78°








Gambar 2.27

Sekarang perhatikan pasangan A1 dan B3, serta A2 dan B4. Pasangan sudut tersebut adalah sudut-sudut luar berseberangan, dimana A1 = B3 dan A2 = B4.
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut-sudut luar berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.
Contoh





Gambar 2.28
Perhatikan gambar di atas
a. Sebutkan pasangan sudut-sudut dalam berseberangan
b. Jika A1 = 75° tentukan besar
(i) A2
(ii) A3
(iii) B4

Jawab
a. A2 dalam berseberangan dengan B4
A3 dalam berseberangan dengan B1
b. Jika A1 = 75° maka
(i) A2 = 180° - A1 (bepelurus)
= 180° - 75°
= 105°
(ii) A3 = A1 (bertolak belakang)
= 75°
(iii) B4 = A2 (dalam berseberangan)
= 105°

2. Sudut-sudut Dalam Sepihak dan Luar sepihak






Gambar 2.29
Pasangan sudut tersebut dinamakan sudut-sudut dalam sepihak. Dengan demikian diperoleh
P3 dalam sepihak dengan Q2
P4 dalam sepihak dengan Q1
Besar P3 = Q3 (sehadap) dan besar P2 dan Q2 (sehadap)
P2 = 180° - P3 (berpelurus), sehingga
Q2 = P2 = 180° - P3
P3 + Q2 = 180°
Jumlah P3 dan Q2 adalah 180°
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut dalam sepihak adalah 180°.
Dengan cara yang sama, buktikan P4 + Q1 = 180°. Diskusikan hal ini dengan temanmu.

P1 dengan Q4 dan P2 dengan Q3 disebut sudut-sudut luar sepihak.
P1 + Q4 = 180° berpelurus
P4 = Q4 (sehadap)
P1 + Q4 = 180°
Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut luar sepihak adalah 180°.

Uji kompetensi 9

1. Pada gambar di bawah ini, diketahui garis g//k.






2.





3.







4.









5.








H. MELUKIS SUDUT
1. Melukis sudut yang besarnya sama dengan yang diketahui.
Agar kalian dapat melukis sebuah sudut yang besarnya sama dengan yang diketahui, sediakan alat berupa jangka dan penggaris.
Misalkan kita akan melukis KLM yang besarnya sama dengan PQR berikut




Gambar 2.30
Langkah-langkah untuk melukis KLM sebagai berikut
(i) Buatlah kaki sudut KL
(ii) Pada PQR lukis busur lingkaran dengan pusat Q, sehingga memotong ruas garis PQ di titik S dan memotong ruas garis QR dititik T.
(iii) Lukis busur lingkaran berjari-jari QS dengan pusat L dan memotong KL dititik N.
(iv) Lukis busur lingkaran berjari-jari ST dengan pusat N, sehingga memotong busur lingkaran dengan pusat L dititik O.
(v) Hubungkan titik L dengan titik O dan perpanjanglah. Beri nama perpanjangannya vtitik m. Besar KLM yang terbentuk = besar PQR.








2. Melukis sudut 60°.
Misalkan titik A terletak pada garis g. Untuk melukis sudut A yang besarnya 60° pada garis g langkah-langkahnya sebagai berikut
1) Lukislah busur lingkaran dengan pusat titik A, sehingga memotong garis g dititik B.
2) Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah busur lingkaran dengan B sebagai titik pusatnya, sehingga memotong busur tersebut dititik C
3) Hubungkan titik A dan C, sehingga diperoleh sudut A yang besarnya 60°. Ujilah hasil ini dengan busur derajat.

3. Melukis sudut 90°
Cara melukis sudut yang besarnya 90° sama dengan melukis garis tegak lurus melalui titik-titik yang terletak pada garis tersebut. Misalkan titik A terletak pada garis g. Untuk melukis sudut A yang besarnya 90° langkah-langkahnya sebagai berikut
a. Lukislah busur lingkaran dengan pusat titik A, sehingga memotong garis g dititik B dan C.
b. Lukislah busur lingkaran yang berpusat dititik B dan C, sehingga doperoleh perpotongan busur dititik D.
c. Hubungkan titik A dan titik D, sehingga terbentuk BAD = CAD = A = 90°.

I. MEMBAGI SUDUT
1. Membagi Sudut Menjadi Dua Sama Besar
Dengan menggunakan busur derajat, kita dapat mengukur besar sudut itu, kemudian besar sudut itu dibagi dua. Selain cara tersebut, membagi sudut menjadi dua sama besar juga dapat dilakukan dengan menggunakan penggaris dan jangka. Misalkan kita akan membagi KLM menjadi dua sama besar.



Gambar 2.34
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
a. Buatlah busur lingkaran dengan pusat titik L sehingga memotong ruas garis KL dititik B dan memotong ruas garis LM dititik A.
b. Dengan jari-jari yang sama, masing-masing buatlah busur lingkaran dengan pusat titik A dan B, sehingga kedua busur berpotongan dititik C.
c. Tariklah garis dari L melalui titik C, sehingga terbentuk KLC dan MLC. Sudut KLC dan MLC membagi KLM menjadi dua sama besar, sehingga besar KLC = MLC. Coba ukurlah dengan busur derajat besar KLC dan MLC. Apakah kedua sudut itu sama besar?






Gambar 2.35
2. Melukis sudut 30°
Agar kalian dapat melukis sudut yang besarnya 30°. Dengan membagi sudut 60° menjadi dua sama besar, akan diperoleh sudut 30° seperti gambar di samping.



3. Melukis sudut 45°
Perhatikan gambar berikut
CAD = A = 90°
Berdasarkan urutan langkah-langkah membagi sudut menjadi dua sama besar, diperoleh CAG = DAG = 45°







4. Melukis sudut 150°
Perhatikan bahwa 150° = 90° + 60°. Oleh karena itu, untuk melukis sudut yang besarnya 150°, dapat kalian lakukan dengan cara melukis terlebih dahulu sudut yang besarnya 90°, dilanjutkan melukis sudut yang besarnya 60°.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Lukislah terlebih dahulu sudut 90° dari titik O dengan menggunakan langkah-langkah yang telah dipelajari sebelumnya, sehingga diperoleh POQ = 90°.
2) Kemudian dari kaki sudut OQ, lukislah besarnya 60°, sehingga diperoleh QOS = 60°.
Jadi besar POS = POQ + QOS = 90° + 60° = 150° atau O = 150°
Suatu benda yang berputar sebanyak satu kali putaran penuh berarti telah menempuh jarak putar sebesar 360°.

Uji Kompetensi 10
1. Dengan menggunakan penggaris dan jangka, gambarlah sudut yang besarnya seperti berikut





2. Bagilah sudut-sudut di bawah ini menjadi dua sama besar






3. Lukislah sudut-sudut berikut ini, kemudian bagilah menjadi dua sama besar
a. 100° b. 110° c. 190° d. 200° e. 300°
4. Dengan menggunakan jangka dan penggaris, lukislah sudut yang besarnya berikut ini. Berilah nama masing-masing sudut tersebut
a. 75° b. 135° c. 165° d. 22,5° e. 112,5° f. 210°

Rangkuman

1. Suatu sudut dapat terbentuk dari suatu sinar yang diputar pada pangkal sinar. Sudut dinotasikan “ ”. Untuk menyatakan besar suatu sudut digunakan satuan derajat (°), menit ('), dan detik (") dimana
1° = 60' atau 1' =
1' = 60" atau 1" =
1° = 3600" atau 1" =

2. Sudut yang besarnya 90° disebut sudut siku-siku.
Sudut yang besarnya 180° disebut sudut lurus.
Sudut yang besarnya antara 0° dan 90° disebut sudut lancip.
Sudut yang besarnya antara 90° dan 180° disebut sudut tumpul.
Sudut yang besarnya lebih dari 180° dan kurang dari 360° disebut sudut refleks.
3.






4. Kedudukan dua garis
- Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai tak terhingga.
- Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan mempunyai satu titik potong.
- Dua garis dikatakan saling berimpit apabila garis tersebut terletak pada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat satu garis lurus saja.
- Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis tersebut tidak akan berpotongan apabila diperpanjang.
5. Hubungan antar sudut jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain
- Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, akan terbentuk empat pasang sudut sehadap yang besarnya sama.
- Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, besar sudut-sudut dalam berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.
- Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut-sudut luar berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.
- Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut dalam sepihak adalah 180°.
- Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut luar sepihak adalah 180°.

Evaluasi 2

1. Hitunglah nilai x pada gambar berikut





2. Hitunglah nilai x dan y




3. Hitunglah besar ABD





4. Hitunglah besar a, b, c, d, dan e





5. Hitunglah nilai a, b, dan c




6. Pada gambar berikut A2 = 70°. Hitunglah besar
a. B3
b. A1
c. B4







7. Hitunglah nilai x.




8. Hitunglah nilai b.




9. Berapa besar CDE yang kecil?





10. Berapa besar STU yang kecil?






BAB 3
SEGITIGA DAN SEGI EMPAT
Kompetensi Dasar
Setelah mempelajari segitiga dan segi empat, kalian akan mampu mengenali sifat-sifat dan melukis segitiga serta menghitung besaran-besaran pada segitiga.

Tujuan Pembelajaran
- Dapat menjelaskan jenis-jenis segitiga berdasarkan sisi-sisinya.
- Dapat menjelaskan jenis-jenis segitiga berdasarkan besar sudutnya.
- Dapat menjelaskan pengertian jajar genjang, persegi, persegi panjang, belah ketupat, trapesium, dan layang-layang menurut sifatnya.
- Dapat menjelaskan sifat-sifat segi empat ditinjau dari sisi, sudut, dan diagonalnya.
- Dapat menurunkan rumus keliling bangun segitiga dan segi empat.
- Dapat menurunkan rumus luas bangun segitiga dan segi empat.
- Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan menghitung keliling dan luas bangun segitiga dan segi empat.
- Dapat melukis segitiga yang diketahui tiga sisinya, dua sisi dan satu sudut apitnya atau satu sisi dan dua sudut.
- Dapat melukis segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki.
- Dapat melukis garis tinggi, garis bagi, garis berat, dan garis sumbu.

A. SEGITIGA
1. Pengertian Segitiga
Perhatikan gambar berikut




Gambar 3.1
Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga buah titik sudut.
2. Jenis-jenis Segitiga
Jenis-jenis segitiga dapat ditinjau berdasarkan
a. Panjang sisi-sisinya
b. Besar sudut-sudutnya
c. Panjang sisi dan besar sudutnya
a. Jenis-jenis segitiga ditinjau dari panjang sisinya
(i) Segitiga Sebarang




Gambar 3.2
Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidak sama panjang. AB BC AC.
(ii) Segitiga Sama Kaki





Gambar 3.3
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi sama panjang. Pada gambar di atas segitiga ABC sama kaki dengan AB = BC.
(iii) Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang mempunyai tiga sisi yang sama panjang

Pada gambar di samping adalah segitiga sama sisi.
AB = BC = AC



Gambar 3.4
b. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau Dari Besar Sudutnya
(i) Segitiga Lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga sudut-sudut yang terdapat pada segitiga tersebut besarnya antara 0° dan 90°.




Pada gambar di samping. Ketiga sudut pada ABC adalah sudut lancip.


(i)
Gambar 3.5
(ii) Segitiga Tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul.
Pada ABC di samping, ABC adalah sudut tumpul



Gambar 3.6
(iii) Segitiga Siku-siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (besarnya 90°).
Pada gambar di samping, ABC siku-siku di B.


Gambar 3.7
c. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau Dari Panjang Sisi Dan Besar Sudutnya
(i) Segitiga Siku-siku Sama Kaki
Segitiga siku-siku sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (90°).
Pada gambar di samping. ABC siku-siku dititik A, dengan AB = AC.


Gambar 3.8





(ii) Segitiga Tumpul Sama Kaki
Segitiga tumpul sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dab salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul.
Sudut tumpul ABC di samping adalah B, dengan AB = BC.
Gambar 3.9

Uji Kompetensi 1
1. Tentukan jenis-jenis segitiga-segitiga berikut
a. ABC dengan A = 60°, B = 60° dan C = 60°
b. DEF dengan DE = 7 cm, DF = 5 cm dan RQ = 7cm
c. GHI dengan G = 90°, H = 50° dan I = 40°
d. JKL dengan JK = 5cm, KL = 3cm dan JL = 6 cm
2. Gambarlah sebuah persegi panjang ABCD! Buatlah diagonal AC dan BD yang berpotongan dititik E.
a. Ada berapa buah segitiga siku-siku? Sebutkan!
b. Ada berapa buah segitiga sama kaki? Sebutkan!
3. Pada kertas berpetak, gambarlah segitiga PQR dengan P (1, 1), Q (4, 1) dan R (1, 4). Termasuk segitiga apakah segitiga PQR yang terbentuk? Berilah alasanmu.

3. Sifat-sifat Segitiga Istimewa
a. Segitiga Siku-siku
Perhatikan gambar berikut
B = 90° maka ABC adalah segitiga siku-siku.
Besar salah satu sudut pada segitiga siku-siku
Gambar 3.10 adalah 90°.
b. Segitiga Sama Kaki
Segitiga sama kaki dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang sama besar dan sebangun. Segitiga sama kaki mempunyai sua buah sisi yang sama panjang dan dua buah sudut yang sama besar.
Segitiga sama kaki mempunyai sebuah sumbu simetri.
c. Segitiga Sama Sisi
Perhatikan gambar di samping.
Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang dan tiga buah sudut yang sama besar.
Setiap segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sumbu simetri.
Gambar 3.12

Uji Kompetensi 2

1. Salinlah segitiga-segitiga berikut dan sebutkan panjang setiap sisi dan besar setiap sudutnya






2. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut
a. Segitiga sama kaki memiliki satu sumbu simetri
b. Segitiga sama kaki memiliki dua pasang sudut sama besar
c. Ketiga sisi segitiga sama sisi sama panjang
d. Segitiga sama sisi memiliki dua sumbu simetri
e. Segitiga sama sisi dapat menempati bingkainya menurut enam cara
3. Gambar di bawah menunjukkan enam segitiga sama sisi yang sama dan sebangun sehingga membentuk segi enam beraturan.
a. Berapakah besar AOB? Sebutkan dua ruas garis yang sama panjang dengan AD
b. Berapakah banyaknya garis yang sama panjang dengan AB.






B. JUMLAH SUDUT-SUDUT SEGITIGA
1. Menunjukkan Jumlah Sudut-sudut Segitiga Adalah 180°
Untuk mengetahui jumlah sudut suatu segitiga, buatlah segitiga-segitiga ini pada sehelai kertas.




Gambar 3.13
Pada segitiga-segitiga yang telah dibuat, berilah nomor pada tiap-tiap sudutnya. Potonglah sudut-sudut segitiga siku-siku Gambar 3.13 (i) menurut garis a, garis b, dan garis c seperti gambar 3.14 (a). Kemudian letakkan sudut-sudut tersebut sehingga ketiga titik sudutnya berimpit dan kaki-kaki sudutnya saling bersisihan seperti pada gambar 3.14 (b).





Gambar 3.14
Ternyata ketiga sudut itu membentuk sudut lurus, yang berarti jumlah sudut-sudut segitiga siku-siku adalah 180°.
Berikutnya selidikilah jumlah sudut-sudut pada segitiga lancip (Gambar 3.13 (ii)) dan segitiga tumpul (Gambar 3.13 (iii)) dengan cara seperti pada segitiga siku-siku gambar 3.13 (i). Apakah membentuk sudut lurus?. Dengan demikian, jumlah sudut-sudut semua segitiga sama dengan sudut lurus yaitu 180°.



2. Menghitung Besar Salah Satu Sudut Segitiga Apabila Dua Sudut Lainnya Diketahui
Besar suatu sudut segitiga dapat dicari jika besar dua sudut lainnya diketahui.
Contoh
1. Diketahui pada ABC, besar A = 48° dan B = 72°. Hitunglah besar C
Jawab
Pada ABC, berlaku A + B + C = 180°.
Sehingga 48° + 72° + C = 180°
120° + C = 180°
C = 180° - 120°
C = 60°
Jadi besar C = 60°
2. Besar sudut-sudut suatu segitiga berturut-turut adalah 2x°, (x + 40)°, dan (4x + 35)°. Hitunglah nilai x.
Jawab
2x + (x + 40) + (4x + 35) = 180
2x + x + 4x + 40 + 35 = 180
7x + 75 = 180
7x = 100 – 75
7x = 105
x = 15

Uji Kompetensi 3

1. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut
a. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.
b. Jika besar dua sudut segitiga adalah 88° dan 20° maka besar sudut ketiga adalah 82°.
c. Ada kemungkinan bahwa dua sudut segitiga adalah siku-siku.
d. Jika sebuah sudut suatu segitiga tumpul maka dua buah sudut lainnya pasti lancip.
e. Jumlah dua sudut segitiga selalu lebih besar dari sudut yang ketiga.
2. Hitunglah besar sudut ketiga dalam segitiga yang dua sudutnya diketahui seperti berikut
a. 50°, 40° b. 60°, 60° c. 39°, 50° d. 85°, 80°
3. Sudut-sudut sebuah segitiga berbanding sebagai 2 : 3 : 4. Hitunglah besar sudut masing-masing!
4. Besar sudut-sudut sebuah segitiga 6x°, (40 – 3x) °, dan (30 + x) °. Hitunglah nilai x!
5. Besar sudut-sudut sebuah segitiga 4x°, (7x – 6) °, dan (8x – 4) °. Hitunglah nilai x!


C. HUBUNGAN PANJANG SISI DENGAN BESAR SUDUT PADA SEGITIGA
1. Ketidaksamaan Segitiga
Agar kalian memahami mengenai ketidaksamaan segitga lakukan kegiatan berikut
KEGIATAN
a.


Gambar 3.15
b. Ukurlah panjang masing-masing sisinya.
c. Jumlahkan panjang sisi p dan q, kemudian bandingkan dengan panjang sisi c. Manakah yang lebih besar? Bandingkan pula panjang sisi p + r dengan panjang sisi q. Demikian pula bandingkan panjang sisi q + r dengan panjang sisi p. Manakah yang lebih besar?
Apakah yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan tersebut?
Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang dari pada sisi ketiga.
Jika suatu segitiga memiliki sisi p, q, dan r maka berlaku salah satu dari ketidaksamaan berikut.
(i) p + q > r
(ii) p + r > q
(iii) p + q > p
Ketidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga.

2. Hubungan Besar Sudut dan Panjang Sisi Suatu Segitiga
Agar kalian mengetahui hubungan antara besar sudut dengan panjang sisi pada suatu segitiga, lakukan kegiatan berikut ini.
Buatlah sebarang segitiga misalnya segitiga PQR (Gambar 3.16)
Bagaimana hubungan antara P dengan sisi QR, Q dengan sisi PR, dan R dengan sisi PQ?. Dengan menggunakan busur derajat ukurla masing-masing besar sudutnya yaitu P, Q, dan R. Kemudian dengan menggunakan penggaris, ukurlah masing-masing panjang sisinya, yaitu PQ, QR, dan PR.
Amatilah besar sudut dan panjang sisi dari segitiga tersebut.
Jika kalian melakukan dengan tepat, kalian akan memperoleh bahwa
a. Sudut Q merupakan sudut terbesar, dan sisi dihadapannya yaitu PR merupakan sisi terpanjang.
b. Sudut P merupakan sudut yang sedang, dan ternyata menghadap sisi sedang yaitu QR.
c. Sudut R merupakan sudut terkecil, dan ternyata menghadap sisi terpendek yaitu PQ.
Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut





3. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga
Perhatikan gambar di samping.
Jika yang dimaksud sudut dalam pada ABC adalah ABC, maka sudut luarnya adalah CBD.
BAC + ACB + ABC = 180°
CBD + ABC = 180°
BAC + ACB + ABC = CBD + ABC
BAC + ACD = CBD
atau CBD = x° + 2°
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut




Contoh
Pada gambar 3.18 berikut ini, besar A = 50° dan CBD = 110°. Hitunglah besar C.
Jawab
CBD = A + C
110° = 50° + C
C = 110° – 50°
C = 60°
Jadi besar C adalah 60°


Uji Kompetensi 4

1. Manakah yang dapat membentuk segitiga dari tiga baris yang panjangnya seperti berikut ini.
a. 6 cm, 5 cm, dan 7 cm.
b. 10 cm, 6 cm, dan 2 cm.
c. 5,5 cm, 7,5 cm, dan 7 cm.
d. 7 cm, 6 cm, dan 5,5 cm.
2. Diketahui sudut suatu segitiga ABC berbanding A : B : C = 9 : 5 : 4.
Tentukan
a. Besar A, B, dan C
b. Sudut yang terbesar
c. Sudut yang terkecil
d. Sisi yang terpanjang
e. Sisi yang terpendek
3. Perhatikan gambar di bawah ini





Tentukan nilai a°, b°, c°, dan d°.
4. Perhatikan gambar di bawah ini
Pada gambar di samping, LMN siku-siku di M dan besar LNM = 50°. Hitunglah besar KLN.





D. KELILING DAN LUAS SEGITIGA
1. Keliling Segitiga
Keliling suatu segitiga adalah jumlah panjang sisi segitiga.
Keliling ABC = AB + AC + BC
= c + b + a
= a + b + c
Rumus keliling (K) segitiga dengan panjang a cm, b cm, dan c cm adalah


2. Luas segitiga
Sebelum mempelajari luas segitiga, terlebih dahulu diingatkan kembali tentang luas persegi panjang.
Luas persegi panjang = panjang x lebar
= AB x BC
atau L = p x l
= pl
Selanjutnya akan dibahas cara memperoleh rumus untuk luas segitiga.






Pada gambar 3.21 (i) ABC dibagi menjadi dua segitiga siku-siku yaitu ADC dan BDC. Kemudian dibuat persegi panjang yang memuat ABC seperti gambar 3.21 (ii).
Luas ADC = x Luas persegi panjang ADCE
Luas BDC = x Luas persegi panjang DBFC
Luas ABC = Luas ADC + Luas BDC
= x Luas persegi panjang ADCE + x Luas persegi panjang DBFC
= x Luas persegi panjang ABFE
= x AB x BF
Luas ABC = x AB x CD (karena BF = CD)
Pada ABC gambar 3.21. AB disebut alas dan CD disebut tinggi. AB dan CD merupakan alas dan tinggi yang sekawan.



Pada ABC gambar 3.22. Tingginya CD dan alasnya AB.
Luas ABC = x AB x CD jika AB = a cm dan CD = t cm, maka rumus Luas (L) segitiga adalah




Contoh
Luas sebuah segitiga = 48 cm2 dan panjang alasnya = 16 cm. Hitunglah tinggi segitiga tersebut.
Jawab
Luas = 48 cm2, maka L = 48
Alas = 16 cm, maka a = 16
L = x at
48 = x 16 x t
48 = 4t
t =
t = 6
Jadi, tinggi segitiga tersebut adalah 6 cm.

3. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Keliling dan Luas segitiga
Contoh
Sebuah syal berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi yang sama 12 cm dan panjang sisi yang lainnya 28 cm. Jika tinggi syal tersebut 9 cm. Tentukan
a. Keliling syal
b. Luas syal
Jawab
Dari keterangan pada soal di atas, dapat digambarkan sebagai berikut





a. Keliling syal = 12 cm + 12 cm +28 cm
= 52 cm
b. Luas syal = x alas x tinggi
= x 28 cm x 9 cm
= 126 cm2
Uji Kompetensi 5

1. Hitunglah keliling segitiga yang ukuran sisi-sisinya
a. 15 cm, 20 cm, dan 10 cm.
b. 5,5 cm, 4,7 cm, dan 65 mm.
c. 8 cm, 10 cm, dan 6 cm.
d. 35 mm, 25 mm, dan 5 cm.
2. Hitung Luas daerah segitiga jika
a. Alas 15 cm dan tingginya 5,4 cm
b. Alas 7,5 dan tingginya 4,5 cm
3. Gambarlah, kemudian hitung luas daerah ABC, jika diketahui koordinat A (1, 3), B (10, 3), dan C (5,7)
4. Luas sebuah segitiga = 120 cm2 dan alasnya = 30 cm. Hitunglah tingginya!
5. Hitunglah alas sebuah segitiga yang luasnya 90 cm2 dan tingginya 18 cm!
6. Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan panjang tiap sisi tanah berturut-turut 4 m, 5 m dan 7 m. Disekeliling tanah tersebut akan dipasang pagar dengan biaya Rp75.000, 00 per meter. Berapakah biaya yang diperlukan untuk pemasangan pagar tersebut?
7. Permukaan sebuah kotak perhiasan berbentuk segitiga. Jika panjang sisi kotak tersebut 2 cm, 3 cm, dan 4 cm dengan tinggi permukaan kotak 2,5 cm, tentukan
a. Keliling permukaan kotak
b. Luas permukaan kotak
8. Sebuah taman berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi yang sama 5 m, panjang sisi lainnya 12 m dan tingginya 7 m. Jika taman tersebut akan ditanami rumput dengan biaya Rp 65.000, 00/m2, hitunglah keseluruhan biaya yang diperlukan.


E. SEGI EMPAT





Coba amatilah benda-benda di sekitar kalian, seperti papan tulis, bingkai foto, ubin/lantai di kelasmu, sampai layang-layang yang sering kalian mainkan. Berbentuk apakah benda-benda tersebut?. Berapa jumlah sisinya?. Benda-benda tersebut termasuk bangun datar segi empat, karena jumlah sisinya ada empat buah. Perhatikan gambar 3.23 secara umum, ada enam macam bangun datar segi empat yaitu
(i) Persegi panjang
(ii) Persegi
(iii) Jajar genjang (iv) Belah ketupat
(v) Layang-layang
(vi) Trapesium
Pada bangun ini, kita akan mempelajari mengenai bangun datar segi empat di atas.

1. Persegi panjang
a. Pengertian Persegi Panjang
Amatilah benda-benda di sekitar kalian yang berupa buku, meja atau bingkai foto di kelasmu. Bagaimana panjang sisinya?. benda-benda tersebut berbentuk persegi panjang.
Gambar 3.24
Perhatikan persegi panjang ABCD pada gambar 3.25.
Jika kalian mengamati pesegi panjang pada gambar 3.25 dengan tepat, kalian akan memperoleh bahwa
(i) Sisi-sisi persegi panjang ABCD adalah , , , dan dengan dua pasang sisi sejajarnya sama panjang, yaitu = dan = .
(ii) Sudut-sudut persegi panjang ABCD adalah DAB, ABC, BCD, dan CDA dengan DAB = ABC = BCD = CDA = 90°.
Persegi panjang adalah bangun datar segi empat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan memiliki empat sudut siku-siku.
b. Menempatkan Persegi Panjang Pada Bingkainya
Perhatikan persegi panajng ABCD pada Gambar 3.26. Jiplaklah persegi panjang ABCD pada selembar karton. Kemudian, guntinglah karton itu menurut sisi , , , dan sehingga diperoleh potongan karton berbentuk persegi panjang.
Selanjutnya, jika kalian putar persegi panjang tersebut, maka ada berapa cara dapat menempati bingkainya kembali?. Coba kalian peragakan gambar 3. 27.







Gambar 3.27
(i) Tempatkan persegi panjang pada posisi awal.
(ii) Dari posisi awal, baliklah persegi panjang ABCD menurut garis PQ, ternyata persegi panjang dapat menempati bingkainya secara tepat sehingga AD menempati Bc.
(iii) Dari posisi awal, baliklah persegi panjang ABCD menurut garis RS, ternyata sisi AB dapat menempati sisi DC, sehingga persegi panjang ABCD dapat menempati bingkainya.
(iv) Dari posisi awal, putarlah persegi panjang ABCD setengah putaran (180°), ternyata persegi panjang dapat menempati bingkainya secara tepat, sehingga sisi AB menempati sisi CD.



c. Sifat-sifat Persegi Panjang
Perhatikan gambar 3.28.
Jika persegi panjang ABCD dibalik menurut garis p, persegi panjang itu akan menempati bingkanya, sehingga titik A akan menempati titik B, dan titik B akan menempati titik A, ditulis A B. Demikian pula D C, sehingga . Hal ini berarti AD = BC.
Jika persegi panjang ABCD dibalik menurut garis q, persegi panjang itu akan menempati bingkainya seperti gambar 3.29.



Berdasarkan gambar 3.29, diperoleh A D, B C dan . Hal ini berarti AB = DC.
Jarak dan selalu tetap. Demikian pula jarak AB dan DC maka sejajar dan sejajar .




Kita akan menyelidiki panjang diagonal-diagonal persegi panjang. Baliklah persegi panjang ABCD dengan diagonal BD menurut garis p sehingga menempati bingkainya kembali seperti Gambar 3.30.
Berdasarkan Gambar 3.30, kita peroleh A B, D C, BD AC, dan BD = AC.
Sekarang, putarlah persegi panjang ABCD sejauh setengah putaran (180°), dengan diagonal-diagonal dan berpotongan dititik O.
Dari pemutaran tersebut, diperoleh O O, A C, B D, sehingga dan maka OA = OC dan OB = OD.




Untuk menyelidiki besar sudut pada persegi panjang, baliklah persegi panjang ABCD menurut garis p, sehingga dapat menempati bingkainya.
Berdasarkan Gambar 3.32, kita peroleh DAB CBA dan ADC BCD maka, DAB = CBA dan ADC = BCD.
Jika persegi panjang ABCD dibalik menurut garis q, persegi panjang akan menempati bingkainya seperti pada gambar 3.33.
Berdasarkan Gambar 3.33, kita peroleh bahwa DAB ADC dan ABC BCD. Maka DAB = ADC dan ABC = BCD. Akibatnya, DAB = ADC = BCD = CBA. Jadi, semua sudut pada persegi panjang adalah sama besar, yaitu 90°.





Dari uraian di atas diperoleh sifat-sifat persegi panjang seb gai berikut:
a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
b. Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut siku-siku (90°).
c. Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagi dua sama besar.
d. Dapat menempati bingkainya menurut empat cara.

Uji Kompetensi 6

1. Gambarlah persegi panjang KLMN dengan diagonal KM dan LN, kemudian sebutkan
a. Dua pasang sisi yang sama panjang,
b. Dua pasang sisi yang sejajar,
c. Lima pasang garis yang sama panjang.
2. Gunakan kertas berpetak untuk menggambarkan suatu persegi panjang dengan titik-titik sudut A (2, 6), B (10, 6), C (10, 2), dan D (2, 2).
a. Sebutkan panjang sisi-sisinya.
b. Jika kedua diagonalnya berpotongan dititik T, sebutkan koordinat T tersebut.
3. Diketahui titik-titik D (3, 0), E (9, 0), dan F (9, 6). DEFG adalah persegi panajng.
a. Gambarlah persegi panjang tersebut!
b. Tentukanlah koordinat titik G!
4. Gambarlah persegi panjang yang panjang diagonalnya sama dengan 8 cm!



5. Perhatikan persegi panjang ABCD pada gambar berikut!
a. Tentukan besar ADO dan BAO.
b. Tentukan sudut-sudut lain yang sama besar dengan ADO.
c. Tentukan sudut-sudut lain yang sama besar dengan BAO.


d. Keliling dan Luas Persegi Panjang
Keliling bangun datar adalah jumlah semua panjang sisi yang membatasi bidang datar tersebut.
Maka keliling persegi panjang adalah jumlah panjang semua sisi persegi panjang.
Perhatikan gambar 3.34 di samping.
Keliling persegi panjang ABCD = AB + BC + CD + DA.
Karena AB = CD dan BC = AD, maka keliling persegi panjang ABCD = 2 x AB + 2 x BC.
AB disebut panjang dan BC disebut lebar.
Jadi, keliling persegi panjang ABCD = 2 x panjang + 2 x lebar. Jika panjang = p cm, lebar = l cm, dan keliling K cm, maka



Luas bangun datar adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun tersebut maka luas persegi panjang adalah luas yang dibatasi oleh sisi-sisi persegi panjang itu. Pada gambar 3.34. Rumus luas Persegi panjang = panjang x lebar. Jika panjang = p cm, lebar = l cm, dan Luas = L cm2. Maka rumus luas setiap persegi panjang adalah



Contoh
Hitunglah keliling dan luas persegi panjang yang berukuran panjang 15 cm dan lebar 10 cm.



Jawab





Luas (L) = p x l
= 15 x 10
= 150
Jadi, keliling persegi panjang tersebut 50 cm dan luasnya 150 cm2.

Uji Kompetensi 7

1. Hitunglah keliling dan luas persegi panjang dengan ukuran sebagai berikut
a. Panjang = 20 cm, dan lebar = 15 cm.
b. Panjang = 25 cm, dan lebar = 17 cm.
c. Panjang = 30 cm, dan lebar = 23 cm.
2. Ayah membeli sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang ukuran panjangnya 15 m dan lebarnya 8 m. Jika harga tiap m2 Rp 25.000, 00. Berapa ayah harus membayarnya?
3. Sebidang tanah luasnya 180 m2. Tentukan
a. Lebarnya, jika ukuran panjangnya 15 m.
b. Panjangnya jika ukuran lenarnya 9 m.
4. Hitung keliling dan luas daerah persegi panjang dengan ukuran sebagai berikut!
a. Panjang 10 cm dan lebar 6,4 cm.
b. Panjang 15 cm dan lebar 6 cm.
5. Luas sebuah persegi panjang = 150 cm2 dan lebarnya 10 cm. Hitunglah panjangnya!
6. Sebuah persegi panjang berukuran panjang = (3x + 4) cm dan lebar = (x + 6) cm. Jika luas persegi panjang 392 cm2. Tentukan panjang dan lebarnya!
7. Keliling suatu persegi panjang adalah 72 cm dan lebarnya 8 cm kurang dari panjangnya. Hitunglah panjang dan lebarnya!
8. Halaman rumah berbentuk persegi panjang berukuran panajng 90 meter dan lebar 60 meter. Disekeliling halaman itu, akan dipasang pagar dengan biaya Rp 145.000, 00 per meter. Berapakah biaya yang diperlukan untuk pemasangan pagar tersebut?



2. Persegi
a. Pengertian Persegi
Gambar 3.35 adalah sebuah persegi ABCD.
(i) Sisi-sisi persegi ABCD sama panjang, yaitu AB = BC = CD = AD.
(ii) Sudut-sudut persegi ABCD sama besar yaitu ABC = BCD = CDA = DAB = 90°.



b. Menempatkan Persegi Pada Bingkainya












Sebuah persegi dapat menempati bingkainya dengan 8 cara seperti ditunjukkan pada gambar 3.36.

c. Sifat-sifat Persegi
Letak (1), (2), (3), dan (6) pada Gambar 3.36 merupakan letak yang sama dengan letak-letak persegi panjang. Jadi, bangun persegi merupakan bangun persegi panjang yang khusus, sehingga sifat-sifat yang dimiliki oleh persegi panjang berlaku untuk persegi.
Sifat-sifat persegi yang dimiliki oleh persegi panjang adalah
1. Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar,
2. Diagonalnya sama panjang, dan
3. Diagonalnya berpotongan membagi dua sama panjang.
Selanjutnya akan diselidiki sifat-sifat lainnya yang dimiliki oleh persegi.
Pada Gambar 3.37, persegi ABCD dibalik menurut diagonal AC, maka
A A
B D
AB AD
Jadi AB = AD .........................(1) C C
B D
CB CD
Jadi CB = CD ...........................(2)
Pada gambar 3.38, persegi ABCD dibalik menurut diagonal BD, maka
A C
B B
AB CB
Jadi AB = CB ..........(3) A C
D D
AD CD
Jadi AD = CD ..........(4)
Dari hasil tersebut didapat
AB = AD .......................................(1)
AD = CD .............................(4)
CD = CB ....................(2)
Persegi ABCD dibalik menurut diagonal AC (Gambar 3.39), maka
BAC DAC
Jadi, ABD = CBD
ADB CDB
Jadi, ADB = CDB
Karena ABD = CBD dan ADB = CDB, maka diagonal BD membagi B dan D menjadi dua bagian yang sama besar.





Persegi ABCD diputar putaran dengan pusat O (Gambar 3.40) maka
DOC AOD
Jadi, DOC = AOD
COB DOC
Jadi, COB = DOC
BOA COB
Jadi, BOA = COB
AOD BOA
Jadi, AOD = BOA
Dari hasil-hasil di atas dapat disimpulkan bahwa
AOD = DOC = COB = BOA
AOD + DOC + COB + BOA = 360° (satu putaran penuh)
Jadi, AOD = DOC = COB = BOA =
= 90° (sudut siku-siku)


Berdasarkan sifat-sifat persegi, maka dapat dinyatakan berikut:


Sifat-sifat persegi adalah sebagai berikut
1. Sisi-sisinya sama panjang dan sisi yang berhadapan sejajar.
2. Diagonal-diagonalnya sama panjang.
3. Diagonal-diagonalnya berpotongan dan membagi dua sama panjang.
4. Diagonal-diagonalnya berpotongan membentuk sudut siku-siku.
5. Sudut-sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya (diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri).
Dari sifat-sifat persegi di atas, maka pada persegi ABCD Gambar 3.41 diperoleh
1. AB = BC = CD = AD
2. AC = BD
3. OA = OC = OB = OD
4. OAB = OAD = 45°
OBA = OBC = 45°
OCB = OCD = 45°
ODA = ODC = 45°
5. AOB = BOC = COD= AOD = 90°



Uji Kompetensi 8

1.




2.



3. Pada persegi EFGH diketahui panjang diagonal EG = (3x – 4) cm dan FH = 20 cm. Tentukan nilai x dan panjang diagonalnya.
4. Diketahui koordinat titik P (-4, 1) dan S (-4, 5)
a. Gambarlah persegi PQRS jika kedua titik sudut yang lain terletak pada sumbu koordinat.
b. Tentukan koordinat titik Q dan R.
c. Tentukan panjang sisi persegi tersebut.
d. Jika titik potong kedua diagonalnya adalah titik O, tentukan koordinat titik O.

d. Keliling Dan Luas Persegi
Perhatikan Gambar 3.42 di samping!
Keliling persegi ABCD = AB + BC + CD + DA karena AB = BC = CD = DA maka keliling persegi ABCD = 4 x AB
Jika panjang sisi AB = s cm dan keliling persegi = K cm, maka


Contoh
Hitunglah keliling persegi, yang panjang sisinya 6 cm!
Jawab
Panjang sisi = 6 cm, maka s = 6 cm.
K = 4s
= 4 x 6
= 24
Jadi keliling persegi tersebut adalah 24 cm.
Pada Gambar 3.43 daerah yang diarsir menunjukkan luas persegi ABCD. Karena persegi memiliki ukuran panjang dan lebar yang sama, yang disebut sisi mak: Rumus luas persegi = sisi x sisi. Jika panjang sisi = s cm dan luas = L cm2 maka:


Contoh
Hitunglah luas persegi yang panjang sisinya = 11 cm!
Jawab
Panjang sisi = 11 cm, maka s tersebut 11.
L = s2
= 112
= 121
Jadi, luas persegi tersebut adalah 121 cm2.

Uji Kompetensi 9

1. Diketahui keliling suatu persegi sebagai berikut!
a. K = 48 cm.
b. K = 52 cm.
c. K = 60 dm.
Tentukan ukuran sisi persegi dan luasnya!
2. Hitunglah luas persegi yang panjang sisinya:
a. 6 cm b. 10 cm c. 12 cm d. 17 cm
3. Luas sebuah persegi = 81 cm2. Hitunglah panjang sisinya!
4. Sebuah lantai berbentuk persegi denga ukuran sisinya 6 m. Lantai tersebut akan dipasang ubin berbentuk persegi berukuran 30 cm x 30 cm. Tentukan banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutup lantai.


3. Jajar genjang
a. Pengertian Jajar Genjang
Jajar genjang adalah bangun segi empat yang dibentuk dari sebuah segitiga dan bayangannya yang diputar setengah putaran (180°) pada titik tengah salah satu sisinya.

b. Sifat-sifat Jajar Genjang





Perhatikan Gambar 3.44
Pada gambar tersebut menunjukkan jajar genjang ABCD. Putarlah ABD setengah putaran (180°) pada titik O, sehingga diperoleh AB DC dan AD BC.
Akibatnya AB = DC dan AD = BC.
Pada setiap jajar genjang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
Pada gambar 3.44, perhatikan sudut-sudutnya.
Jika jajar genjang diputar setengah putaran (180°) maka diperoleh A C, ABD BDC, dan ADB CBD
Akibatnya, A = C, ABD = BDC, dan ADB = CBD.
Sedemikian sehingga A = C, B = ABD + CBD, dan D = ADB + BDC.
Pada setiap jajar genjang sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Perhatikan gambar 3.45.
Pada jajar genjang ABCD. AB//DC dan AD//BC.
Berdasarkan sifat-sifat garis sejajar, karena AB//BC, maka A dalam sepihak dengan D, maka A + D = 180°.
B dalam sepihak dengan C, maka B + C = 180°.
Demikian juga karena AD//BC, maka diperoleh A dalam sepihak dengan B, maka A + B = 180°.
D dalam sepihak dengan C maka C + D = 180°. Maka
A + D = A + B = 180°
C + B = C + D = 180°
Pada setiap jajar genjang jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan adalah 180°.
Perhatikan gambar 3.46.
Pada ABD diputar setengah putaran (180°) pada titik O, akan diperoleh OA OC dan OB OD maka OA = OC dan OB = OD.
OA + OC = OC dan OB + OD = BD
Pada jajar genjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sifat-sifat jajar genjang sebagai berikut:
(i) Sisi-sisi yang berhadapan pada setiap jajar genjang sama dan sejajar.
(ii) Sudut-sudut yang berhadapan pada setiap jajar genjang sama besar.
(iii) Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap jajar genjang adalah 180°.
(iv) Pada setiap jajar genjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang.

c. Keliling dan Luas Jajar genjang
1) Keliling jajar genjang
Pada Gambar 3.47. Keliling jajar genjang ABCD
= AB + BC + CD + AD
= 2 (AB + BC)

2) Luas Jajargenjang
Gambar 3.48 menunjukkan jajargenjang ABCD dengan salah satu diagonalnya BD.Jajargenjang ABCD terdiri dari dua segitiga yang kongruen, ABD dan CBD.
Jadi, Luas ABCD = 2 x Luas ABD = 2 x Luas CBD.
Jika Luas ABCD = L satuan luas, panjang AB dan tingginya masing-masing a1 dan t1 satuan panjang.
Panjang BC dan tingginya masing-masing a2 dan t2 satuan panjang, maka
L = 2 x x a1 x t1 = 2 x x a2 x t2
= a1 t1 = a2 t2
Jadi, luas jajargenjang sama dengan alas x tinggi
Rumus luas jajargenjang =

Catatan: Untuk perhitungan dalam soal, satuan-satuan yang digunakan harus disesuaikan terlebih dahulu.

Contoh
Hitunglah luas jajargenjang yang mempunyai alas 15 cm dan tinggi 8 cm.
Jawab
Alas (a) = 15 cm dan tinggi (t) = 8 cm.
Luas jajargenjang = a x t
= 15 x 8
= 120
Jadi, luas jajar genjang tersebut 120 cm2.

Uji Kompetensi 10

1. Tentukan nilai x yang terdapat pada tiap bangun pada gambar berikut ini!





2. Alas suatu jajargenjang panjangnya 3x cm dan tingginya x cm. Jika luas jajargenjang itu 108 cm2, tentukanlah panjang alas dan tinggi jajargenjang itu!
3. Tinggi suatu jajargenjang duakali panjang alasnya. Jika luas jajargenjang itu 98 cm2, tentukanlah tinggi dan panjang alasnya!
4. Suatu jajargenjang luasnya 150 cm2, panjang alas 39 cm, dan tingginya 29 cm. Tentukanlah panjang alas dan tinggi jajargenjang itu!
5. Pada sebuah jajargenjang diketahuiluasnya 250 cm2. Jika panjang alas jajargenjang tersebut 5x dan tingginya 2x, tentukan
a. Nilai x.
b. Panjang alas dan tinggi jajargenjang tersebut.


4. Belah ketupat
Gambar 3.49 menunjukkan gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya oleh pencerminan dengan alas sebagai cermin sehingga membentuk bangun segi empat yang disebut belah ketupat.






a. Sifat-sifat belah ketupat
Perhatikan Gambar 3.50.
Dari pencerminan itu dapat ditemukan sifat-sifat belah ketupat berikut ini.
1) sehingga CB = DB
, maka CA = DA
Karena CB = CA, maka CB = DB = CA = DA. Ini berarti semua sisi suatu belah ketupat sama panjang.
2) , maka CO = DO dan COD merupakan garis lurus karena AOC = AOD = 90°. Karena OA = OB, CAO = CBO, DAO = DBO, AC = BC, AD = BD, ACD = BCD dan ADO = BDO, maka AB dan DC merupakan sumbu simetri dari belah ketupat ACBD itu. Hal ini berarti diagonal-diagonal suatu belah ketupat merupakan sumbu-sumbu simetrinya.
3) Dari keterangan pada 2), dapat disimpulkan juga bahwa CAD = CBD dan masing-masing terbagi dua sama besar oleh , ACB = ADB dan masing-masing terbagi dua sama besar oleh . Hal ini berarti sudut-sudut yang berhadapan pada suatu belah ketupat sama besar dan terbagi dua sama besar oleh diagonal.
4) Karena AO = BO, CO = DO, AOC = AOD = BOC = BOD = 90°. Berarti kedua diagonal suatu belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling tegak lurus.
Jadi sifat-sifat belah ketupat dapat disimpulkan sebagai berikut:
(i) Semua sisi sama panjang
(ii) Diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri
(iii) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonalnya
(iv) Kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang dan saling tegak lurus

b. Keliling dan Luas Belah ketupat
Jika belah ketupat mempunyai panjang sisi s maka keliling belah ketupat adalah
K = AB + BC + CD + DA
= s + s + s + s
= 4 s
Perhatikan Gambar 3.51. Luas belah ketupat ABCD = Luas segitiga ABD + Luas segitiga CBD.

Jika luas belah ketupat L, panjang diagonal AC = x, dan panjang diagonal BD = y, maka
L = x BD x AO = x BD x CO
= . y . x + . y . x
= x . y + x .y
= x . y
Jadi, luas suatu belah ketupat = setengah kali diagonal kali diagonal yang lain.
Rumus luas belah ketupat





Contoh
Sebuah belah ketupat diketahui luasnya 180 cm2. Jika panjang salah satu diagonalnya 24 cm, tentukan panjang diagonal yang lain!
Jawab
L = x d1 x d2
180 = x 24 x d2
180 = 12 d2
d2 = = 15
Jadi, panjang diagonal belah ketupat yang lain adalah 15 cm.

Uji Kompetensi 11

1. Diagonal-diagonal suatu belah ketupat panjangnya 18 cm dan 12 cm. Tentukan luas belah ketupat tersebut!
2. Suatu belah ketupat ABCD memiliki panjang diagonal AC = 9 cm dan diagonal BD adalah 3 cm kurangnya dari diagonal AC. Tentukan luas belah ketupat itu.
3. Luas suatu belah ketupat adalah 150 cm2. Jika masing-masing panjang diagonalnya 3a cm dan 4a cm, tentukan panjang masing-masing diagonalnya!
4. Suatu belah ketupat luasnya 120 cm2, salah satu diagonal panjangnya 12 cm dan panjang diagonal yang lain (2x + 8) cm. Tentukan nilai x dan panjang diagonal yang lain.
5. Diketahui ABCD adalah belah ketupat dengan A (-4, -1), B (-1, -5), dan C (2, -1).
a. Tentukan koordinat titik D
b. Hitunglah keliling dan luas belah ketupat ABCD.


5. Layang-layang
a. Pengertian layang-layang








Gambar 3.52
Kedua segitiga pada gambar 3.52 (i) dan (ii) di atas adalah segitiga sama kaki yang memiliki alas yang sama panjang, yaitu BD. Jika segitiga ABD dan CBD diimpitkan alasnya, maka terbentuk bangun segi empat ABCD pada gambar 3.52 (iii) yang disebut layang-layang.
Layang-layang dibentuk dari gabungan dua segitiga sama kaki yang panjang alasnya sama dan berimpit.
b. Sifat-sifat
(i) Pada setiap layang-layang, masing-masing sepasang sisinya sama panjang.
(ii) Pada setiap layang-layang, terdapat sepasang sudut berhadapan yang sama besar.
(iii) Pada setiap layang-layang, salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri.
(iv) Pada setiap layang-layang, salah satu diagonalnya membagi dua sama panjang diagonal lain dan tegak lurus dengan diagonal itu.
c. Keliling dan Luas Layang-layang
Keliling layang-layang ABCD pada Gambar 3.54 sebagai berikut
Keliling (K) = AB + BC + CD + DA
= x + x + y + y
= 2x + 2y
= 2 (x + y)
Luas layang-layang ABCD
= Luas ABC + Luas ADC
= x AC x OB + x AC x OD
= x AC x (OB + OD)
= x AC x BD
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut
Keliling (K) dan Luas (L) layang-layang dengan panjang sisi pendek y dan sisi panjang x serta diagonalnya masing-masing d1 dan d2 adalah





Contoh
Diketahui layang-layang ABCD dengan panjang AO = 16 cm, BO = 12 cm, dan CO = 24 cm seperti tampak pada gambar 3.55.
a. Tentukan panjang AB
b. Tentukan panjang CD
c. Hitunglah keliling ABCD
d. Hitunglah luas ABCD
Jawab
a. AB2 = BO2 + AO2
= 122 + 162
= 144 + 256
= 400
AB = = 20 cm
b. CD2 = OC2 + OD2
= 242 + 122
= 576 + 144
= 720
CD = = cm
c. Keliling ABCD = AB + BC + CD + AD
= (20 + + + 20) cm
= (40 + ) cm
d. Luas ABCD = x AC x BD
= x 40 x 24 cm2
= 480 cm2

Uji Kompetensi 12
1. Hitunglah luas layang-layang yang panjang diagonal-diagonalnya sebagai berikut
a. 8 cm dan 12 cm
b. 9 cm dan 16 cm
c. 15 cm dan 18 cm
d. 13 cm dan 21 cm
2. Pada kertas berpetak, gambarlah tiga buah layang-layang yang berlainan yang panjang diagonal-diagonalnya 8 satuan dan 4 satuan.
3. Diagonal-diagonal layang-layang PQRS berpotongan dititik T. Panjang PT = 9 cm, QT = 12 cm, dan YS = 40 cm. Hitunglah:
a. Panjang PQ
b. Panjang PS
c. Keliling layang-layang itu
4. Nyatakan masing-masing kalimat berikut ini benar atau salah untuk setiap layang-layang.
a. Diagonal-diagonalnya sama panjang
b. Diagonal-diagonalnya saling berpotongan tegak lurus
c. Mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang
d. Dua sudutnya yang berhadapan sama besar
e. Jika kedua diagonalnya digambar, maka terdapat tiga pasang segitiga yang kongruen
5. Luas suatu layang-layang adalah 60 cm2. Jika panjang salah satu diagonalnya 8 cm, hitunglah panjang diagonal yang lain.
6. PQRS diketahui suatu bangun dengan P (-2, 4), Q (2, 1), R (8, 4), dan S (2, 7). Sedangkan T titik potong kedua diagonalnya.
a. Bangun apakah yang terbentuk apabila PQRS dihubungkan?
b. Tentukan koordinat titik T.
c. Hitunglah luas bangun PQRS.
d. Jika PQT = 40° dan TSR = 65°. Tentukan besar PQR dan QRS.
7. Diketahui luas suatu layang-layang adalah 192 cm2. Jika diagonalnya d1 dan d2 memiliki perbandingan d1 : d2 = 2 : 3, tentukan panjang diagonal d dan d2.


6. Trapesium
Perhatikan gambar 3.56.
Gambar tersebut adalah gambar trapesium.
Trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.
a. Jenis-jenis Trapesium
Secara umum ada tiga jenis trapesium sebagai berikut:
(i) Trapesium sebarang
Trapesium sebarang adalah trapesium yang keempat sisinya tidak sama panjang pada gambar di samping, AB//DC. Sedangkan masing-masing sisi yang membentuknya, yaitu AB, BC, CD, dan AD tidak sama panjang.
(ii) Trapesium sama kaki
Trapesium sama kaki adalah trapesium yang mempunyai sepasang sisi sama panjang, disamping mempunyai sepasang sisi yang sejajar. Pada gambar di samping. AB//DC dan AD = BC.
(iii) Trapesium siku-siku
Trapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satu sudut merupakan sudut siku-siku (90°).
Pada gambar di samping, selain AB//DC juga tampak bahwa besar DAB = 90° (siku-siku).
b. Sifat-sifat Trapesium
Perhatikan gambar 3.58
Pada gambar tersebut menunjukkan banguntrapesium ABCD. Karena AB sejajar DC (AB//DC), maka diperoleh
DAB dalam sepihak dengan ADC sehingga DAB + ADC = 180°.
ABC dalam sepihak dengan BCD, sehingga ABC + BCD = 180°.
Secara umum dapat dikatakan bahwa
Jumlah sudut yang berdekatan diantara dua sisi sejajar pada trapesium adalah 180°.

Trapesium sama kaki mempunyai ciri-ciri khusus yaitu
1) Diagonal-diagonalnya sama panjang
2) Sudut-sudut alasnya sama besar
3) Dapat menempati bingkainya dengan dua cara
c. Keliling dan luas trapesium
Keliling trapesium ditentukan dengan cara yang sama seperti menentukan keliling bangun datar yang lain, yaitu dengan menjumlahkan panjang sisi-sisi yang membatasi trapesium.
Perhatikan gambar 3.59
Gambar 3.59 menunjukkan bahwa trapesium ABCD dipotong menurut diagonal BD, sehingga tampak bahwa trapesium ABCD dibentuk dari ABD dan BCD yang masing-masing alasnya AD dan BC serta tinggi t (DE).
Luas trapesium ABCD = Luas ABD x FB + x BC x DE
= x AD x t + x BC x t
= x t x (AD + BC)
Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut
Luas trapesium = x jumlah sisi sejajar x tinggi

Contoh
Perhatikan gambar berikut
KLMN adalah trapesium dengan MNOP suatu persegi dan OP = 8 cm. Jika KO = 6 cm, PL = 2 cm, KN = 10 cm dan LM = cm, tentukan:
a. Panjang MN
b. Keliling trapesium KLMN
c. Luas trapesium KLMN
Jawab
a. Panjang MN = OP = 8 cm
b. Alas = KL = KO + OP + PL
= 6 cm + 8 cm + 2 cm
= 16 cm
Keliling trapesium KLMN adalah
K = KL + LM + MN + KN
= 16 cm + cm + 8 cm + 10 cm
= (34 + ) cm
c. Luas trapesium KLMN adalah
L = x (NM + KL) x NO
= x (8 + 16) x 8
= 96 cm2

Uji Kompetensi 13
1. ABCD adalah trapesium siku-siku di A dengan AB//CD. Jika B : C = 4 : 5, tentukanlah besar sudut-sudutnya.
2. Pada trapesium PQRS, PS = QR dan besar P = 65°.
a. Tentukan besar Q
b. Tentukan besar R dan S
3. Perbandingan panjang sisi sejajar pada sebuah trapesium sama kaki adalah 2 : 5. Diketahui besar sudut pada salah satu kaki trapesium adalah 60°, panjang kaki trapesium = 10 cm, tinggi 8 cm dan luasnya 80 cm2. Tentukan
a. Besar sudut yang belum diketahui
b. Panjang sisi-sisi sejajar
c. Keliling trapesium


F. MELUKIS SEGITIGA
1. Melukis segitiga apabila diketahui panjang ketiga sisinya (sisi, sisi, sisi).
Misalkan kita akan melukis ABC jika diketahui AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 4 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut
1) Buatlah ruas garis AB dengan panjang 7 cm.
2) Dengan pusat titik A buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 4 cm.
3) Kemudian dengan pusat titik B buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 5 cm sehingga memotong busur pertama dititik C
4) Hubungkan titik A dengan titik C dan titik B dengan titik C, sehingga terbentuk ABC.

Tiga buah garis dapat dibentuk menjadi sebuah segitiga jika jumlah panjang dua garis lebih panjang daripada panjang garis yang ketiga.

2. Melukis Segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut apit kedua sisi tersebut (sisi, sudut, sisi).
Misalkan kita akan melukis KLM jika diketahui panjang KL = 3 cm, LKM = 70°, dan panjang KM = 4 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Buatlah ruas garis KL dengan panjang 3 cm
2) Dengan menggunakan busur derajat, pada titik K buatlah sudut yang besarnya 70°.
3) Kemudian dari titik K buatlah busur lingkaran dengan panjang jari-jari 4 cm, sehingga berpotongan dititik M.
4) Hubungkan titik L dan M sehingga terlukislah KLM.

3. Melukis segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut dihadapan salah satu dari kedua sisi tersebut.
Misalkan kita akan melukis PQR dengan PQ = 5 cm, PR = 3 cm, dan PQR = 40°.
Langkah-langkahnya sebagai berikut
1) Buatlah ruas garis PQ dengan panjang 5 cm.
2) Lukislah sudut dititik Q sebesar 40° dengan menggunakan busur derajat.
3) Dengan titik P sebagai pusat, buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 3 cm, sehingga memotong garis tersebut dititik R1 dan R2.
4) Hubungkan titik P dengan R1 dan titik P dengan R2, sehingga diperoleh PQR1 dan PQR2.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat kita katakan sebagai berikut
Jika kita melukis segitiga dimana diketahui dua sisi dan satu sudut dihadapan salah satu dari kedua sisi tersebut maka akan diperoleh dua buah kemungkinan lukisan segitiga.

4. Melukis segitiga jika diketahui satu sisi dan dua sudut pada kedua ujung sisi tersebut (sudut, sisi, sudut)
Misalkan kita akan melukis RST apabila diketahui panjang RS = 5 cm, TRS = 45°, dan TSR = 65°.
Langkah-langkahnya sebagai berikut
1) Buatlah ruas garis RS dengan panjang 5 cm.
2) Dari titik R, buatlah sudut yang besarnya 45° dengan menggunakan busur derajat.
3) Kemudian dari titik S, buatlah sudut yang besarnya 65° sehingga berpotongan dititik S.
4) RST adalah segitiga yang dimaksud.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa suatu segitiga dapat dilukis jika diketahui
1) Panjang ketiga sisinya.
2) Panjang dua buah sisi dan besar sudut yang mengapit kedua sisi tersebut.
3) Panjang dua buah sisi dan besar sudut dihadapan salah satu sisi tersebut.
4) Besar dua buah sudut dan panjang sisi diantara sudut tersebut.

Uji Kompetensi 14
1. Lukislah segitiga-segitiga berikut
a. ABC dengan AB = 6 cm, BC = 8 cm, dan B = 90°.
b. KLM dengan KL = LM = 7 cm dan KM = 5 cm.
c. PQR dengan PQ = QR = PR = 8 cm.
2. Lukislah ABC jika diketahui
a. AB = 3 cm, BC = 4 cm, dan AC = 6 cm
b. AB = 9 cm, BC = 15 cm, dan AC = 18 cm
3. Lukislah DEF jika diketahui
a. DE = 5 cm, EDF = 70° dan DF = 4 cm
b. DE =6 cm, FDE = 50° dan DF = 5 cm
4. Lukislah XYZ jika diketahui
a. XY = 3 cm, YXZ = 50° dan XYZ = 30°
b. YZ = 8 cm, XYZ = 80° dan XZY = 50°

G. MELUKIS SEGITIGA SAMA KAKI DAN SEGITIGA SAMA SISI
1. Melukis segitiga sama kaki
Telah kalian pelajari bahwa segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang. Untuk melukis segitiga tersebut, perhatikan contoh berikut.

Misalkan kita akan melukis ABC sama kaki dengan AB = 4 cm dan AC = BC = 5 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut
1. Buatlah ruas garis AB yang panjangnya 4 cm.
2. Dengan pusat A buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 5 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah busur lingkaran dengan pusat titik B, sehingga berpotongan dengan busur pertama di titik C.
4. Hubungkan titik A dengan titik C dan titik B dengan titik C, sehingga diperoleh ABC yang merupakan segitiga sama kaki.

2. Melukis segitiga sama sisi
Misalkan kita akan melukis ABC sama sisi dengan panjang sisinya 5 cm.
Langkah-langkanya sebagai berikut
1. Butlah ruas garis AB dengan panjang 5 cm.
2. Dengan pusat titik A, buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 5 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah busur lingkaran dengan pusat titik B, sehingga memotong busur pertama dititik C.
4. Hubungkan titik A dengan titik C dan titik B dengan C, sehingga diperoleh ABC sama sisi dengan AB = BC = AC = 5 cm.

Uji Kompetensi 15
1. Lukislah ABC sama kaki dengan
a. AB = 4 cm, BC = 3 cm, dan AC = 4 cm.
b. AB = 6 cm, BC = 4,5 cm, dan AC = 4,5 cm.
2. Lukislah PQR sama sisi dengan
a. PQ = 5,5 cm, QR = 5,5 cm, PR = 5,5 cm.
b. PQ = 7 cm, QR = 7 cm, PR = 7 cm.


H. MELUKIS GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA
i. Garis Tinggi
Garis tinggi segitiga adalah garis yang ditarik dari sebuah titik sudut segitiga tegak lurus sisi dihadapannya.
Misalkan kita akan melukis garis tinggi PQR dititik Q.
Langkah-langkahnya sebagai berikut
a. Lukislah busur lingkaran dari titik Q sehingga memotong PR dititik A dan B.
b. Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama sehingga berpotongan dititik C.
c. Hubungkan titik Q dan titik C sehingga memotong PR dititik S. Garis QS adalah garis tinggi sisi PR.



ii. Garis Bagi
Garis bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan membagi sudut menjadi sama besar.
Karena ada tiga titik sudut segitiga, maka pada segitiga ada tiga garis bagi.
Diketahui KLM siku-siku di K. Langkah-langkah untuk melukis garis bagi L pada KLM sebagai berikut
a. Lukislah busur lingkaran dari titik L sehingga memotong KL dititik A dan LM dititik B.
b. Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama sehingga saling berpotongan dititik C.
c. Hubungkan titik L dan titik C sehingga memotong KM dititik D, D adalah garis bagi sudut L.

iii. Garis Sumbu
Garis sumbu suatu segitiga adalah garis yang membagi sisi-sisi segitiga menjadi dua bagian sama panjang dan tegak lurus pada sisi-sisi tersebut.
Misalkan diketahui KLM seperti pada gambar 3.69.
Langkah-langkah melukis garis sumbu sisi LM sebagai berikut
a. Lukislah busur lingkaran dari titik L dengan jari-jari lebih dari LM.
b. Kemudian dengan jari-jari yang sama lukislah busur lingkaran dari titik M, sehingga memotong busur pertama dititik P dan Q.
c. Hubungkan titik P dan Q, sehingga terbentuk garis PQ. Garis PQ merupakan garis sumbu pada sisi LM.

iv. Garis Berat
Garis berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan membagi sisi dihadapannya menjadi dua bagian sama besar.
Misalkan diketahui DEF sebarang seperti pada gambar di samping. Langkah-langkah untuk melukis garis berat F sebagai berikut
a. Lukislah gari sumbu pada sisi DE, sehingga memotong DE dititik G.
b. Hubungkan titik F dan titik G garis FG adalah garis berat.





Uji Kompetensi 16

1. Gambarlah segitiga tumpul ABC, kemudian lukislah ketiga garis tinggi pada segitiga tersebut.
2. Gambarlah ABC siku-siku dititik A dengan AB = 6 cm dan AC = 5 cm. Kemudian lukislah ketiga garis berat pada ABC tersebut dan tentukan titik perpotongannya.
3. Gambarlah DEF sama kaki dengan DE = DF. Lukislah ketiga garis sumbu pada segitiga berikut.
I. MENYELESAIKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN SEGI EMPAT
Contoh
Bekti membuat layang-layang dengan panjang salah satu diagonalnya 16 cm. Hitunglah panjang diagonal yang lain jika luas layang-layang tersebut 192 cm2.
Jawab
Luas layang-layang = x d1 x d2
192 = x 16 x d2
d2 =
= 24
Jadi, panjang diagonal layang-layang adalah 24 cm.


Uji Kompetensi 17

1. Sebuah lapangan berukuran 110 m x 90 m. Di tepi lapangan itu dibuat jalan dengan lebar 3 m mengelilingi lapangan.
a. Tentukan luas jalan tersebut.
b. Jika jalan tersebut akan dikerahkan dengan biaya Rp 45.000,00 tiap m2, berapakan biaya seluruh pengerasan jalan itu.
2. Seorang petani mempunyai sebidang tanah berukuran panjang 24 m dan lebar 15 m. Tanah tersebut akan dibuat sebuah kolam berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal-diagonal berturut-turut 9 m dan 12 m, sedangkan sisanya akan ditanami pohon jambu. Berapakan luas tanah yang ditanami pohon jambu.
3. Diketahui bentuk atap sebuah rumah terdiri atas sepasang trapesium sama kaki dan sepasang segitiga sama kaki. Pada atap yang berbentuk trapesium panjang sisi sejajarnya masing-masing 5 m dan 3 m. Adapun atap yang berbentuk segitiga yang panjang alasnya 7m. tinggi trapesium sama dengan tinggi segitiga = 4 m.
a. Tentukan banyak gentang yang dibutuhkan untuk menutup atap tersebut, jika tiap 1 m2diperlukan 25 buah genteng.
b. Jika harga 1 buah genteng Rp 1.750,00. Berapakah biaya yang dibutuhkan seluruhnya.
4. Nugroho akan membuat layang-layang. Ia menyediakan duapotong lidi yang digunakan sebagai kerangka dengan panjang masing-masing 40 cm dan 24 cm. Tentukan luas minimal kertas yang dibutuhkan untuk membuat layang-layang.
5. Sebuah kamar berbentuk persegi dengan panjang sisi 4 m. Kamar itu akan dipasang ubin berbentuk persegi dengan luas tiap ubin 400 cm2. Tentukan banyak ubin yang diperlukan.


Rangkuman

1. Segitiga siku-siku dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang yang dipotong menurut diagonalnya. Besar salah satu sudut pada segitiga siku-siku adalah 90°.
2. Sifat-sifat segitiga sama kaki :
a. Dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang sama besar dan sebangun.
b. Mempunyai satu sumbu simetri.
c. Mempunyai dua buah sisi yang sama panjang.
d. Mempunyai dua buah sudut yang sama besar.
e. Dapat menempati bingkainya dengan tepat dalam dua cara.
3. Sifat-sifat segitiga sama sisi:
a. Mempunyai tiga buah sumbu simetri.
b. Mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang.
c. Mempunyai tiga sudutyang sama besar (60°).
d. Dapat menempati bingkainya dengan tepat dalam enam cara.
4. Jumlah ketiga sudut segitiga adalah 180°.
5. Ketidaksamaan segitiga
Jumlah dua buah sisi pada segitga selalu lebih panjang dari pada sisi ketiga.
6. Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapan dengan sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil terletak berhadapan dengan sisi terpendek.
7. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut.
8. Keliling segitiga yang panjang sisinya a, b, dan c adalah K = a + b + c.
9. Luas segitiga dengan panjang alas a dan tinggi t adalah L = x a x t.
10. Persegi panjang adalah bangun segi empat dengan panjang sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. Keliling dan luas persegi dengan panjang p dan lebar l adalah K = 2 (p + l) dan L = p x l.
11. Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang dan empat sudut siku-siku.
Keliling dan luas persegi dengan panjang sisi s adalah
K = 4 s dan L = s2.
12. Jajar ganjang adalah bangun segi empat yang dibentuk dari sebuah segitiga dan bayangannya yang diputar setengah putaran (180°) pada titik tengah salah satu sisinya.
Keliling dan luas jajargenjang dengan panjang sisi a dan sisi lainnya b, serta tinggi t dirumuskan dengan
K = 2 (a + b) dan L = a x t.
13. Belah ketupat adalah bangun segiempat yang dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.
Keliling dan luas belah ketupat dengan panjang sisi s dan serta diagonal d1 dan d2 dirumuskan dengan
K = 4 s dan L = x d1 x d2.
14. Layang-layang adalah segiempat yang dibentuk dari gabungan dua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit.
Keliling dan luas layang-layang dengan sisi pendek a dan sisi panjang b serta diagonal d1 dan d2 adalah
K = 2 (a + b) dan L = x d1 x d2.
15. Trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.
Keliling dan luas trapesium dengan panjang sisi sejajar a dan b, panjang sisi tidak sejajar c dan d, serta tinggi t adalah
K = a + b + c + d dan L = x (a + b) x t.

Evaluasi 3

1. Diketahui PQR dengan titik P (-1, 2), Q (2, -2), dan R (-4, -2). Dari titik P ditarik garis PT.
a. Gambarlah segitiga PQR tersebut pada bidang cartesius.
b. Tentukan koordinat titik T.
c. Tentukan luas segitiga PQR.
2. Lantai sebuah rumah berukuran panjang 8 m dan lebar 6 m. Lantai itu akan ditutup dengan ubin berukuran (20 cm x 20 cm).
a. Hitunglah banyak ubin yang diperlukan untuk menutup lantai tersebut.
b. Jika harga ubin Rp 7.500,00 per buah, hitunglah biaya yang diperlukan untuk pembelian ubin tersebut.
3. Sebuah halaman rumah bagian tengahnya berbentuk belah ketupat yang ukuran diagonalnya 16 m dan 24 m. Bagian tengah halaman rumah tersebut akan ditanami rumput. Jika harga rumput Rp 17.500/m2, hitunglah biaya yang diperlukan untuk menanam rumput tersebut.
4. Lukislah ABC sebarang kemudian lukis
a. Garis bagi dari titik sudut A,
b. Garis berat dari titik sudut B.
5. Keliling sebuah segitiga sama sisi 120 cm. Hitunglah panjang sisi-sisinya.